geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

LA PARABOLA 1 5 1
Recíprocamente , sea Pi (x i, y\ ) un punto cualquiera cuyas coordenadas
satisfagan (2). Tendrem os:
yi2 = ipxi.
Si sumamos (xi — p)2 a ambos miembros de esta ecuación, y extraemos
la raíz cuadrada , obtenemos , para la raíz positiva ,
vy (xi — p)2 + yi2 = | ti + p I,
que es la expresión analítica de la condición geométrica ( 1 ) aplicada
al punto Pi . Por tanto , Pi está sobre la parábola cuya ecuación está
dada por ( 2 ).
Ahora discutiremos la ecuación (2)
en el Artículo 19. Evidentem ente, la
tiene ninguna otra intersección
con los ejes coordenados. La
única simetría que posee el lugar
geométrico de (2 ) es con respecto
al eje X, Despejando y
de la ecuación (2 ) , tenemos :
y = ± 2 Vpx. (3)
siguiendo el método explicado
curva pasa por el origen y no
Por ta n to , para valores de y
reales y diferentes de cero , p y x
deben ser del mismo signo. Según
esto, podemos considerar
dos casos : ¡ ) > 0 y j ) < 0 .
Si p > 0 , deben excluirse
todos los valores negativos de x ,
Fig. 76
y todo el lugar geométrico se
encuentra a la derecha del eje Y. Como no se excluye ningún valor
positivo de x , y como y puede tomar todos los valores reales, el lugar
geométrico de ( 2 ) es una curva abierta que se extiende indefinidamente
hacia la derecha del eje Y y hacia arriba y abajo del eje X . E sta posición
es la indicada en la figura 75, y se dice que la parábola se abre
hacia la derecha.
Análogam ente, si p < 0 , todos los valores positivos de x deben
excluirse en la ecuación (3) y todo el lugar geométrico aparece a la
izquierda del eje Y. E sta posición está indicada en la figura 76, y ,
en este caso , se dice que la parábola se abre hacia la izquierda.
Es evidente que la curva correspondiente a la ecuación (2) no tiene
asíntotas verticales ni horizontales.
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