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330 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
de P1 P2 sobre el eje coordenado correspondiente). Este numerador se obtiene
siempre restando la coordenada del origen de la coordenada correspondiente del
extremo del segmento. (Véase el teorema 1, Art. 3.)
Si elevamos al cuadrado ambos miembros de cada una de las ecuaciones
(1 ) y (2), y sumamos, obtenemos
eos2 a + eos2 |3 + eos8 y =
P ero, por el teorema 1 , Artículo 108,
(ara - X1)2 + (y 2 — yx)2 + Q — ¿i)2
d2 = ( x 2 — xi)2 + ( 2/2 - 2/1 ) 2 + («2 — Z1 )2.
Por tanto , tenemos el siguiente importante resultado ,
que dice :
eos2 a + eos2 (3 -f- eos2 y = 1 , ( 3 )
T eorem a 4. La suma de los cuadrados de los cosenos directores de
cualquier recta es igual a la unidad.
NOTA. Por la ecuación (3) se ve que los ángulos directores de una recta no
son todos independientes. En efecto, fijados dos de ellos, el tercero y su suplemento
quedan determinados.
Por la ecuación (3 ) vemos también que no todos los cosenos directores
de una recta pueden ser nulos. Como tendremos ocasión de referirnos
a este hecho, lo anotaremos como un corolario al teorema 4.
C o r o la r io . De los cosenos directores de una recta uno, cuando
menos, es diferente de cero.
Ejemplo. Hallar los cosenos directores de la recta l (fig. 161) que pasa por
los puntos Pi(2, 1, —2) y P 2 ( —2, 3, 3) y está dirigida de P2 a Pi.
Solución. L a distancia entre
Pi y P2 es
d 2
d = a /( 2 + 2)2 + (1 - 3 ) ‘ + (—2—3)?
= 3 VI.
Entonces, como l está dirigida de P 2 a
Pi, tenemos
2 — ( — 2) ___________
eos a =
d
3 V I 15
eos (5 =
eos y =
1 - 3 2 ,—
3 V I “ ~ 15 ’
- 2 - 3
3 V I
i V I.