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374 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
En seguida deduciremos las ecuaciones de la recta l que pasa por
ios puntos dados Pi(xi, 2/ 1 , Zi) y Pi{xi, 2/2 , zi). Por el corolario 2
del teorema 5 , Artículo 111, un sistema de números directores para l
está dado por [ — xi, yi — y\, Z2 — zi ]. Por tanto , por el teorema
1 anterior, las ecuaciones de l son
x — x\ = k{xi — xi), y — 2 /1 = k(yi - y{), z — z\ = k(zi — zi), (4)
en donde k es una constante diferente de cero.
Si todas las coordenadas correspondientes de Pi y P 2 son diferentes
entre s í , es decir, x\ £ 2 , yi 2 /2 > si ^ Z2 , podemos escribir las
ecuaciones (4 ) en la siguiente forma
x — xi _ y - 2 /1 _ z — zi , .
x2 — xi 2 /2 — y\ Z2 — zi
Vamos a hacer un resumen de los resultados precedentes en el siguiente
T eorem a 2. La r e d a que pasa por los dos puntos dados
Pi(xi, yi, zi) y P2 (X2 , ya, z2) tiene por ecuaciones
x — xi = k(x2 — xi), y — yi = k(y2 - y i), z — zi = k(z2 — zi),
en donde k es una constante diferente de cero.
Si las coordenadas de Pi y P 2 son tales que xi X2 , y i ^ y 2 ,
zi Z2, estas ecuaciones pueden escribirse en la forma
x — xi _ y — yi _ z — zi
x2 - xi y 2 — yi - Z2 — zi '
Consideremos ahora la recta l que pasa p o r el p u n to dado
Pi(xi, 2/ 1 , zi) y tiene los ángulos directores
dados a, (3, y. Sea P(x, y, z)
un punto cualquiera de l , y t la longitud
del segmento de recta variable
P P i. Vamos a considerar a t positivo
o negativo según que P esté de un
lado o del otro de P i , como aparece
Y en la figura 168. Según esto , la va
riable t puede tomar todos los valores
reales incluyendo el valor cero cuando
P coincide con P i . Evidentem ente,
Fíg. 168 para cada valor asignado a t , la posición
de P queda perfectamente definida
con respecto al punto fijo P i.