geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

SUPERFICIES 425
139. Ecuación general de segundo grado con tres variables. D e
considerable im portancia en la G eom etría analítica de tres dimensiones
es la ecuación general de segundo grado con tres v ariables,
A x 2 + B y 2 + Cz2 + D xy + E xz + Fyz
+ Gx+Hy + Iz + K = 0 , (1 )
en donde u n o , por lo m en o s, de los seis coeficientes A , B , C, D , E
y F es diferente de cero . U na superficie cuya ecuación es de la form
a (1), es d e c ir, de segundo grado , se llam a , apro p iadam ente,
superficie cuádrica o sim plem ente una cuádrica. E l estudiante observará
que algunas de las superficies previam ente estudiadas son superficies
cuádricas. P or ejem plo, la superficie esférica es una cu ád rica.
T a m b ié n , las superficies cilindrica y cónica cuyas ecuaciones sean de
segundo grado, son cuádricas, tenem os así el cilindro cuádrico y el cono
cuddrico. D e m anera sem ejante, cualquier superficie reglada representad
a por una ecuación de segundo grado se llam a cuádrica reglada.
Vamos ahora a llam ar la atención sobre una propiedad im portante
de las cuádricas. Supongam os que cortam os la cuádrica (1 ) por un
plano cualquiera paralelo al plano X Y , es d e c ir, el plano z = k , en
donde k es una constante real cualquiera. Las ecuaciones de la curva
de intersección se obtienen sustituyendo z por k en la ecuación (1 ) ;
éstas son
A x 2 + B y 2 + Dxy + (Ek + G )x
+ (Fk + H )y + Ck 2 + Ik + K — 0 , z=k.
P or nuestro estudio previo de la ecuación plana general de segundo
grado con dos variables (Capítulo IX), reconocemos esta curva como
u na sección cónica, o una form a lím ite de una sección cónica , contenida
en el plano z = k. M ás generalm ente, podemos dem ostrar q u e ,
si una superficie cuádrica es cortada por un plano cualquiera, la curva
de intersección es una sección cónica o una form a límite de una sección
cónica. Vemos ahora que nuestra determ inación previa de las secciones
cónicas como secciones planas de un cono circular re c to , hecha en el
Artículo 78 , es un caso especial de esta pro p ied ad .
La ecuación general (1 ) de una cuádrica ocupa entre las superficies
, en G eom etría analítica del espacio , un lugar análogo al ocupado
entre las curvas planas, en G eom etría analítica plana, por la ecuación
A x 2 + B xy + Cy2 + D x + E y + F = 0 , (2 )
que es la definición analítica de una sección cónica. E n el C apítulo IX
hicimos un estudio de la ecuación (2 ) y una clasificación de los lugares