geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

432 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
Las intercepciones con el eje X son ± a. N o hay intercepciones
con los ejes Y y Z .
Las trazas sobre los planos 1 7 y X Z so n , respectivam ente, las
X V
/g*2 g2
hipérbolas — p = 1 , z = 0
¡ V — 0 • N o hay traza
sobre el plano Y Z .
La superficie es sim étrica con respecto a todos los planos coordenados
, ejes coordenados y al orig en .
Las secciones de esta superficie por planos
paralelos al Y Z son las elipses
o.2
siem pre que | k | > a . P ara k = ± a , te ­
nemos solam ente los dos puntos de intersección
con el eje X , ( ± o , O, 0 ) . Para
valores de k com prendidos en el intervalo
— a < k < a , no hay lug
D e esto se sigue que la superficie no es
cerrada sino que está com puesta de dos
hojas o ram as diferentes que se extienden
indefinidam ente. U na porción de la superficie
aparece en la figura 190, en donde los
ejes coordenados han sido colocados de m anera
que el dibujo resulte m ás c laro . Se
dice que la superficie se extiende a lo largo
del eje X . C ualquier hiperboloide de dos hojas se extiende a lo largo
del eje coordenado correspondiente a la variable cuyo coeficiente es
positivo en la form a canónica de su ecuación.
Si en la ecuación (1 1 ) 6 = c , la superficie es un hiperboloide de
revolución de dos hojas que puede engendrarse haciendo girar la hipér­
bola -í! _ j ' ! - i 2 = 0 , en torno del eje X . (Véase el ejemplo 1
a2 62
del Artículo 1 3 6 .) Como para el hiperboloide de una h o ja , podemos
dem ostrar que un hiperboloide de dos hojas tiene tam bién un cono
asintótico. P ara la superficie ( 1 1 ) , la ecuación de este cono es
b2
— = 0.
c‘
Una porción del cono aparece en línea de trazos en la figura 190. P ara
el hiperboloide de dos hojas cuya ecuación en su form a canónica es
r