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328 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
lesquiera que se cortan y son paralelas, respectivamente, a las rectas dadas
y tienen él mismo sentido.
La dirección de una recta cualquiera en el espacio se determina por
los ángulos que forma con los ejes coordenados. Sea l (fig. 159) cualquier
recta dirigida en el espacio. Si l no pasa por el origen O , sea l 1
la recta que pasando por O es paralela a l y del mismo sentido.
Entonces los ángulos a , (3 y y formados por las partes positivas de
los ejes X , Y y Z y la recta l' se llaman ángulos directores de la
recta dirigida l. Un ángulo director
puede tener cualquier valor desde 0o
hasta 180° inclusive. Evidentemente,
si la recta l es de sentido opuesto , sus
ángulos directores son los ángulos
suplementarios respectivos.
En la resolución de nuestros problemas
, veremos que generalmente es
Y m ás conveniente usar los cosenos de
los ángulos directores en lugar de los
ángulos m ism os. Estos cosenos,
eos a , eos |3 , eos y , se llaman cose-
Fig. 159 nos directores de la recta dirigida l.
Como eos (jt — 9 ) = — eos 9 , se sigue
que si l es de sentido opuesto sus cosenos directores son — eos a ,
— eos P y — eos y • Por tanto , cualquier recta del espacio , no dirigida,
tiene dos sistemas de cosenos directores, iguales en valor absoluto
, pero opuestos en sign o.
Vamos a determinar los cosenos directores de una recta cuya posición
en el espacio está dada por dos de sus puntos. Sea l [fig. 160 (a) ]
una recta que pasa por los puntos P i (z i, y i , 21) y P 2 (£2 , y 2 , 22).
Primero consideraremos el caso en que l tiene el sentido indicado en la
figura. Por cada uno de los puntos Pi y P 2 , hagamos pasar planos
paralelos a los coordenados, formando así un paralelepípedo recto
rectangular cuya diagonal es P 1P 2 , y cuyas aristas paralelas a los ejes
X , Y y Z son, respectivam ente, P 1V 1 , P 1V2 y P iV 3 . Si cada arista
tiene el mismo sentido que el eje a que es paralela, los ángulos
directores son
a = ángulo P 2 P 1 V1 , (3 = ángulo P 2 P 1 F 2 ,
Y = ángulo P 2 P 1 V3 .
Ahora consideremos [figs. 160 (&), (c) y (á)] los tres triángulos
rectángulos formados por los dos puntos P i , P 2 y cada uno de los