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294 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
lector comprenderá que la solución de este problema requiere la determinación
de i t , la razón de la circunferencia a su diám etro. En
M atem áticas superiores se demuestra que no solamente es imposible
resolver este problema por medio de la regla y el com pás, sino que la
solución no puede efectuarse por medio de ninguna curva algebraica
cuya ecuación tenga coeficientes racionales.
EJERCICIOS. Grupo 45
En cada uno de los ejercicios 1-3 construir la curva correspondiente a la
ecuación que se da.
1. y = - 2x2 - x + 2.
2. y = 2xi — l l x 3 + 20x2 — 12*.
3. y = x 6 - - óx-* + 38x2 - 43* + 1?.
4. Si la función polinomia general f (x) , igualada a cero, tiene por raíces
los números complejos conjugados a + bi y a — bi, en que a y b son reales,
b 0, y i = ■\/ — 1 , demuéstrese que f (x) tiene un factor cuadrático positivo
para todos los valores reales de x y, por tanto, que no hay ningún punto
de intersección de la curva y = f (x) con el eje X.
5. Si la función polinomia general f (x) , igualada a cero, tiene raíces
reales de orden impar, iguales cada una a a, demuéstrese que la curva y — f (x)
corta al eje X en el punto (a, 0) .
6. Si la función polinomia general f (x) , igualada a cero, tiene raíces
reales de orden par, iguales cada una a a, demuéstrese que la curva y = f (jc) es
tangente al eje X en el punto (a, 0) .
7. Para las curvas potenciales y = x11, demuéstrese: a) que todas las curvas
del tipo parabólico pasan por el punto (1, 1) y el origen; b) que todas
las curvas del tipo hiperbólico son asintótícas a los ejes coordenados.
8. Dibújese la figura 136 (a) del Artículo 98 a una escala más grande y
1 1 2 3
agréguense las curvas correspondientes para n , 4, 5. Com ­
párense los lugares geométricos obtenidos haciendo variar el valor de n.
9. Dibújese la figura 136(6) del Artículo 98 a una escala más grande y
agréguense las curvas correspondientes para n = — -i-, — y , — 3, — 4. Com ­
párense los lugares geométricos obtenidos haciendo variar el valor de n,
10. Dibújense varias de las curvas potenciales representadas por la ecuación
x = ayn, y compárense con las curvas correspondientes de la familia y = axn.
En cada uno de los ejercicios 11-17, construir las curvas potenciales cuyas
ecuaciones se dan.
11. y = (x — 1) 3. Sugestión. Trasládese el eje Y.
12. y = ( * + l ) s. 15. y + 1 = (x - 1 ) ^ .
13. y = * * + !. 16. y -l= (x + l ) 2Á .
14. y — 2 = (x — 3) 4. 17. y - 3 = ( * -f 2) ~i .