geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

52 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
Por tanto, la condición geométrica dada (3) esta expresada analíticamente por
la ecuación
V ( x + 1)J+ (y ~ 2)s = V(x - 4) 2 + (y + 1)>. (4)
3. Si elevamos al cuadrado ambos miembros de (4), desarrollamos, trasponemos
y simplificamos, la ecuación se reduce a
5 x — "i y — 6 = 0. (5)
4. Sean (jri, yi) las coordenadas de un punto cualquiera P\ que satisfacen
(5) de tal manera que la ecuación
5 xi — 3 yi — 6 = 0
Y
es verdadera. Invirtiendo los pasos dados para reducir (4) a (5) , podemos
demostrar que de la ecuación (6) se deduce la ecuación
V (jci 1)2 -t-(yi — 2) 2 = V (*i — 4) 2 + (yi + l)2,
que es la expresión analítica de la condición geométrica (3) aplicada al
punto P i.
Luego (5) es la ecuación buscada. El lugar geométrico, que aparece en 1a
figura 32, es la perpendicular al segmento AB en su punto medio, es decir,
la mediatriz del segmento AB.
Ejemplo 2. Un punto se mueve de tal manera que su distancia del eje Y es
siempre igual a su distancia del punto A (4, 0) . Hallar la ecuación de su lugar
geométrico.
Solución. 1. Sea P (x, y) un punto cualquiera del lugar geométrico.
Sea B el pie de la perpendicular bajada de P al eje Y (fig. 33) . Según el problema,
P debe satisfacer la condición geométrica
¡PB | = |PA |. (7)
(6)