geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

SUPERFICIES 431
P ara todos los valores de m , las rectas (7 ) son las asíntotas de la
hipérbola ( 6 ) . A dem ás, las hipérbolas (6 ) están sobre el hiperboloide
( 3 ) , y las rectas (7 ) están sobre la superficie (5 ) para todos
los valores de m . Vemos, entonces, que la superficie (5 ) guarda una
relación con el hiperboloide (3 ) análoga a la que guardan las asíntotas
con una hipérbola , y que el hiperboloide se aproxim a m ás y m ás a la
superficie cónica a m edida que am bas superficies se alejan m ás y más
del o rig en. P or e s to , la superficie (5 ) se llam a cono asintótico del
hiperboloide ( 3 ) . E n la figura 189(a ) a p a r e c e una porción de
este cono.
E scribam os ahora la ecuación (3 ) en la form a
z*_ _ yp_
a2 ~ e2 ~ b2'
D escom poniendo los dos miem bros en factores , resulta :
(7 + f)( í- f) -( ‘ + t ) M ) .
Ahora es fácil ver que la ecuación (8 ) puede obtenerse elim inando el
parám etro k de cualquiera de las dos siguientes fam ilias de rectas :
( 8)
(9 )
i -
P or tan to (A rt. 1 3 7 ), el hiperboloide de una hoja es una superficie
reglada engendrada por una de estas dos fam ilias de rectas. C ada una
de las fam ilias de rectas ( 9 ) y (1 0 ) se llam a un haz alabeado de
segundo orden o regulus del hiperboloide ( 3 ) . Puede dem ostrarse que
por cada punto del hiperboloide pasa una y solam ente una generatriz
de cada h az. A lgunas de estas generatrices aparecen en la figura
189(b).
c) Hiperboloide de dos hojas. U na form a canónica de la ecuación
del hiperboloide de dos hojas es
b2
2 /y2,
( 1 1 )
Como para el hiperboloide de una hoja , hay otras dos form as canónic
as, siendo la discusión de la ecuación (1 1 ) representativa de todas
las fo rm as.