geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

90 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
Solución. Por el teorema 13 anterior, la ecuaciones
x y 1
- 1 4 1
3 1 1
= 0.
Si desarrollamos por los elementos de la primera fila, obtenemos
4 1 - 1 i - 1 4
1 1
— y +
3 1 3 1
de donde la ecuación de la recta, en su forma general, es
3x + 4y - 13 = 0.
36. Familias de líneas rectas. E n el Artículo 29 vimos que una
recta y su ecuación quedan determinadas perfectamente por dos condiciones
independientes. Portanto, una recta que satisface solamente
una condición no es una recta ú n ica; hay infinidad de rectas que la
cum plen, cada una de las cuales tiene la propiedad común asociada
con esa única condición. De acuerdo con esto podemos formular la
siguiente
D e f in ic ió n . La totalidad de las rectas que satisfacen una única
condición geom étrica se llam a fam ilia o haz de rectas.
= 0,
Para mejor comprender este nuevo concepto, consideremos primero todas las
rectas que tienen de pendiente 5. La totalidad de estas rectas forma una familia
de rectas paralelas, teniendo todas la propiedad co-
Y mún de que su pendiente es igual a 5. Analíticamente.
esta familia de rectas puede representarse por
la ecuación
y = 5x + k, (1)
en donde k es una constante arbitraria que puede
tomar todos los valores reales. Así, podemos obtener
la ecuación de cualquier recta de la familia asignando
simplemente un valor particular a fe en la
ecuación (1) . Recordando la ecuación de la recta en
función de la pendiente y la ordenada en el origen
(teorema 2, Art. 27), este valor de k representa
el segmento que la recta determina sobre el eje Y.
Las rectas de la familia (1) para k = 2, k = 0 y
k = — 1 están representadas en la figura 49.
Como otro ejemplo, consideremos todas las rectas
que pasan por el punto (2, 3) . Según la ecua­
Fig. 49
ción de la recta que pasa por un punto y tiene una
pendiente dada (teorema 1, Art. 26) esta familia de
rectas puede representarse, analíticamente, por la ecuación
y - 3 = k(x-2), (2)