geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

416 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
30. Deducir la ecuación de la superficie de revolución generada por rotación
de la circunferencia x 2 + y2 — 2by + b2 — a2 = 0, z — 0, en torno del eje X.
Construir la superficie para a = 2 y b = 3. Cuando b > a, la superficie se
llama foro o anillo de ancla.
137. Superficies regladas. V am os a considerar ahora un tipo
m ás general de superficies del cual son ejemplo el plano , la superficie
cilindrica y la cónica.
D e f i n i c i ó n . U na superficie reglada es aquella que puede ser engendrada
por el m ovim iento de una línea re c ta .
La línea recta en m ovim iento , en cualquiera de sus posiciones , se
llam a generatriz de la superficie.
Se sigue de esta definición que una superficie cilindrica es una
superficie reglada cuyas generatrices son todas paralelas, m ientras que
la superficie cónica es una superficie reglada cuyas generatrices son
todas concurrentes.
Como en el caso de la superficie cilindrica (A rt. 133) y cónica
(A rt. 135), las ecuaciones de las superficies regladas pueden obtenerse
por el método del p a rá m e tro .
Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la superficie reglada generada por la
familia de rectas
2x — y + fez = 0, 2kx + ky — 4z = 0. (1)
Solución, Para cada valor del parámetro fe, la recta correspondiente de la
familia (1) debe estar en su totalidad sobre la superficie. Es decir, todos los
puntos cuyas coordenadas satisfacen las ecuaciones (1) deben estar sobre la
superficie, cualquiera que sea el valor de fe. Por tanto, las ecuaciones de la superficie
deben ser independientes de fe y pueden obtenerse a partir de las ecuaciones
(1) simplemente eliminando el parámetro fe. Así, despejando fe de cada
una de estas ecuaciones, obtenemos
de donde,
o sea,
fe - V-=J* , fe------ i £ _ ,
z 2x + y
y — 2x _ 4z
z 2x + y ’
4x2 - y2 + 4z2 = 0,
que es la ecuación buscada. Esta superficie reglada es, evidentemente, la superficie
de un cono circular recto cuyo vértice está en el origen y cuyo eje se extiende
a lo largo del eje Y.
Si no se dan las ecuaciones de las generatrices de una superficie
reglada como en el ejemplo a n te rio r, pueden obtenerse a p a rtir dé la
form a en que se engendra la superficie. La ecuación de la superficie