geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS 5 1
p unto s, que satisfacen la condición o condiciones geométricas dadas
que definen el lugar geom étrico.
Nótese que esta definición expresa una condición necesaria y suficiente
para que (1) sea la ecuación de un lugar geom étrico. De
acuerdo con esto , el procedimiento para obtener la ecuación de un
lugar geométrico es esencialmente como sigue :
1. Se supone que el punto P , de coordenadas { x , y) es un
punto cualquiera que satisface la condición o condiciones d adas, y ,
por ta n to , un punto del lugar geom étrico.
2. Se expresa, analíticam ente, la condición o condiciones geométricas
dadas, por medio de una ecuación o ecuaciones en las coordenadas
variables x y y .
3. Se simplifica , si hace fa lta , la ecuación obtenida en el paso 2
de tal manera que tome la forma (1).
4. Se comprueba el recíproco : sean (xi, yi) las coordenadas de
cualquier punto que satisfacen (1) de tal manera que la ecuación
f ( x i, yi) = 0 (2)
es verdadera. Si de (2) se puede deducirla expresión analítica de la
condición o condiciones geométricas dadas, cuando se aplica al punto
(x i, y i) , entonces (1) es la ecuación del lugar geométrico que se
buscaba.
E n la práctica se om ite, generalm ente, el paso 4 , ya que la
repetición del trabajo del paso 3 al paso 2 e s, generalm ente, inmediata.
Nótese en el paso 1 que, al tom ar P como un punto cualquiera
del lugar geométrico, estamos considerando todos los puntos de
ese lugar geométrico.
Ahora aplicaremos este procedimiento a dos ejemplos. Se recomienda
al lector que estudie cuidadosamente estos ejem plos, porque
una gran parte de nuestro futuro trabajo en Geometría analítica será
la determinación de las ecuaciones de lugares geométricos.
Ejemplo 1. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se
mueve de tal manera que siempre equidista de dos puntos dados A (— 1, 2) y
B(4, - 1 ) .
Solución, i. Sea P(x, y) un punto cualquiera del lugar geométrico.
Entonces P debe satisfacer la condición geométrica de que los segmentos
PA y PB sean iguales en longitud, o sea, que
I PA I = I PB \ (3)
2. Por el teorema 2 del Artículo ó, tenemos
\PA¡ = V O + O a + (y — 2) 2 ,
I PB | = VOc - 4) 2 + (y + 1)* .