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258 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
T e o re m a 6. Sea e la excentricidad de uva cónica cuyo foco está
en el polo y a p unidades de la directriz correspondiente.
S i el eje focal coincide con el eje polar, la ecuación de la cónica es de
la form a
= ep
1 ± e eos 8 ’
en donde se debe tomar el signo positivo o el negativo según que la directriz
esté a la derecha o a la izquierda del polo.
S i el eje focal coincide con el eje a 90° , la ecuación de la cónica es de
la forma
ep
r = 1 ± e sen 9
en donde se debe tomar el signo positivo o el negativo según que la directriz
esté arriba o abajo del eje polar.
NOTA. N os referiremos en adelante a las ecuaciones del teorema 6 como las
ecuaciones polares ordinarias de las cónicas. El estudiante debe notar, sin embargo,
que en cada caso en el polo está un foco y no el vértice de una parábola
o el centro de una cónica central. Por esto, las ecuaciones rectangulares correspondientes
no estarán en la forma canónica.
Ejemplo. Identificar la cónica cuya ecuación polar es
2 + eos
Hallar las coordenadas polares del centro y vértices y las longitudes de los ejes y
del lado recto,
Solución. La ecuación ordinaria de una cónica tiene la unidad como primer
término del denominador. Por tanto, si dividimos numerador y denominador
del segundo miembro de la ecua-
l ción (4) por 2, obtenemos la
forma ordinaria
1 + Vi eos
Si comparamos la ecuación (5)
con la ecuación ordinaria (3) ,
vemos que la excentricidad es
e = / . Por tanto, el lugar
geométrico de la ecuación (4) es
una elipse cuya posición en el
plano coordenado polar está representada
en la figura 122, en
donde la recta / es la directriz correspondiente al foco que está en el polo O.
De la ecuación (5) tenemos que para 6 = 0 es r = %, y para 0 = jt es r = 4.
Por tanto, las coordenadas de los vértices son V(?s. 0) y Vr/(4, jt) . Como el
(4)
(5)