geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
Considerem os ahora el caso im portante de la familia de curvas
que pasan por las intersecciones de dos circunferencias dadas. Sean
Ci y Ci dos circunferencias diferentes dadas cu alesq u iera, cuyas
ecuaciones son
D e (1 ) y (2 ) se deduce la ecuación
x- + y2+ Di x + E iy + Fi + k(x- + y 2+ D i x + E iy + F t) = 0 , (3 )
en donde el parám etro k puede tom ar todos los valores reales. Supongam
os que los círculos Ci y C2 se cortan en dos puntos distintos
P i (x i , y i) y P i{ x ¡ , 2/2 ) . Como las coordenadas (xi, y i) de P i satisfacen
am bas ecuaciones (1 ) y ( 2 ) , tam bién satisfacen a la ecuación
(3), y ésta se reduce entonces a la form a 0 + k • 0 = 0 , que es
verdadera para todos los valores de k . Análogam ente , las coordenadas
(x-¿, y i) de P 2 que satisfacen am bas ecuaciones (1 ) y (2 ) satisfacen
tam bién a la ecuación (3 ) para todos los valores de k. Por
ta n to , la ecuación (3 ) representa la fam ilia de curvas que pasan
por las dos intersecciones de las circunferencias C\ y C2 . P ara determ
inar la naturaleza de las curvas de esta fam ilia , escribim os la ecuación
(3 ) en la forma
(A '+ l)z 2+ (/■+1 )y2+ (Di + /.'Z)2 ) x -f- (Ei-\-kE-2 )y-\- Fi + kF» — 0. (-I),
Si k = — 1, la ecuación (4 ) se reduce a una de prim er grado y , por
lo tan to , representa una línea recta. Pero , para cualquier otro valor
de k , la ecuación (4 ) representa una circunferencia de acuerdo con
el teorem a 2 del A rtículo 40. E n p a rtic u la r, para k = 0 , la ecuación
(4 ) se reduce a la ecuación C i.
La ecuación (3 ) es particularm ente útil p ara obtener la ecuación
de una curva que pasa por las intersecciones de las circunferencias
d a d a s , ya que entonces no es necesario determ inar las coordenadas de
los puntos de intersección.
y
C 1 : z 2 + y'- + Di * + E i y + Fi = 0 ,
Ci : x- + y 1 + Di x + E iy + Fi = 0.
Ejem plo. Las ecuaciones de dos circunferencias son
Ci: X2 + y2 + 7x - lOy + 31 = 0,
C2: + y2 - x - by + 3 = 0.
Hallar la ecuación de la circunferencia C3 que pasa por las intersecciones de
Ci y C 2 y tiene su centro sobre la recta /: x — y — 2 = 0.
(1 )
(2)