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368 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
En el Artículo 115, vimos que la ecuación de cualquier plano que
pasa por el punto Pi(xi, yi, Zi) es
A(x — Zi) + B(y — yi) + C(z — zi) = 0. (7)
Por tanto , esta ecuación representa a la familia de planos que pasan
por el punto dad o , Pi(xi , yi, zi). Tal sistema se llama una radiación
de planos, teniendo al punto P\ como vértice de la radiación. Como
u n o , por lo m enos, de los coeficientes A, B y C es diferente de cero,
la ecuación (7 ) contiene solamente dos constantes arbitrarias independientes
; representa, por lo ta n to , una fam ilia de planos bipa-
ramétrica.
Como con esto se concluye nuestro estudio del plano, se recomienda
al estudiante que haga un resumen de los resultados de este capítulo.
EJERCICIO S. Grupo 56
Dibujar una figura para cada ejercicio.
1. Determinar el valor del parámetro fe de tal manera que un plano de la
familia kx — 3y + fez — 22 = 0 pueda pasar por el punto (3, — 4, 2) . Hallar
la ecuación del plano.
2. Determinar el valor del parámetro fe de tal manera que un plano de la
familia 2x + fey — fez + 7 = 0 sea perpendicular al plano 3x + by — 12 = 0.
Hallar la ecuación del plano.
3. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (4, — 1, 1) y es
paralelo al plano 4x — 2y + 3z — 5 = 0.
4. Hallar la ecuación del plano paralelo al plano x + 3y — 2z 4- 14 = 0
y tal que la suma de sus intercepciones con los :jes coordenados sea igual a 5.
5. Hallar 1a ecuación del plano que es paralelo al que tiene por ecuación
x — 2y + 2z + 12 = 0
y cuya distancia del origen es igual a 2. (Dos soluciones.)
6. Hallar la ecuación del plano que es paralelo al que tiene por ecuación
7x + 3y — 2z + 2 - 0
y cuya intercepción con el eje Z es 4.
7. El volumen del tetraedro formado por un cierto plano y los planos coordenados
es 12. Hallar la ecuación del plano sabiendo que es paralelo al de ecuación
3x + 2y + 4z + 6 = 0. (Dos soluciones.)
8. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (3, — 1, 4) y también
por la recta de intersección de los planos
x + 2y — z = 4 y 2x — 3y + z = 6.
9. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los
planos 3x + y — 2z + 2 = 0yjc — 3y— z + 3 = 0 y es perpendicular al plano
XY.