geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

SUPERFICIES 417
puede determ inarse entonces por el m étodo de parám etros como se
ilustró anteriorm ente para las superficies cilindrica y cónica.
Consideremos ahora el problem a recíproco, a s a b e r, dada la
ecuación de una superficie, determ inar si representa o no una superficie
reglad a. Ilustrarem os el método con un ejem plo.
E jem plo 2. Demostrar que la ecuación
yz + 2x — 2z = 0 (2)
representa una superficie reglada. Construir la superficie.
Solución. Si en la ecuación (2) hacemos z = fe, hallamos que la intersección
de la superficie y el plano es la línea recta
2x + fey — 2ft = 0, z = fe. (3)
Como las rectas de la familia (3) están
sobre ¡a superficie (2) para todos los valores
de fe, esta superficie es reglada y tiene
a las rectas (3) por generatrices.
Antes de intentar la construcción de una
superficie reglada es mejor, generalmente,
determinar las direcciones de sus generatrices.
Por el artificio de los números directores,
se encuentra que los números directores
de las generatrices (3) son [fe, —2, 0],
Esto muestra que todas las generatrices son
paralelas al plano X Y pero no son parale- Fig. 18?
las entre sí, ya que los números directores
dependen del parámetro fe. Estos hechos sugieren un método de construir la
superficie (2) . Primero hallamos las trazas de la superficie sobre el plano XZ
y sobre el YZ. Estas son, respectivamente,
x = z, y = 0, (4)
y = 2, x — 0, y z = 0, x = 0. (5)
Para un valor común de z, sea P¡ el punto sobre la traza (4) y el punto sobre
la traza (5) . Entonces, evidentemente, la recta que pasa por Pi y P2 es una
generatriz de la superficie (2) . En la figura 185 aparecen trazadas varias de
estas generatrices, y muestra una parte de la superficie comprendida en el primer
octante. Esta superficie se llama paraboloide hiperbólico.
E l procedim iento em pleado en el ejemplo 2 sugiere otro método
para determ inar cuándo una ecuación dada representa una superficie
cilindrica. Vamos a ilustrar esto por medio de un ejem plo.
Ejem plo 3. Demostrar que la ecuación
xz + 2yz — 1 = 0 (6)
representa una superficie cilindrica, demostrando que su lugar geométrico es una
superficie reglada cuyas generatrices son todas paralelas.