geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

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276 GEOMETRIA ANALITICA PLANA Para las coordenadas (x , y) del punto P , tenem os: x = OE = OD + DE = OD + FP = OC eos 6 + CP sen |3 = (a + b) eos 0 — b eos 0 , b y = EP = DF = DC - FC = OC sen 0 - CP eos (3 = (a + b) sen 6 — b sen 0 , de manera que las ecuaciones paramétricas de la epicicloide son x = (a + b) eos 9 — b eos a-~ ^ 9 , ] Ct | y = (a + 6) sen 0 — b sen —^— 0 . > ( ! ) Cada punto de la epicicloide que está sobre la circunferencia fija , tales como A y G , es un pico; la porción de curva comprendida entre dos picos sucesivos se llama arco. El número de picos y arcos depende de las magnitudes relativas de los radios a y 6 . Sea r la razón de o a b , de manera que a = rb. Si r es un número en tero , la epicicloide será , evidentemente , una curva cerrada que tiene exactamente r picos y r arcos ; se dice entonces que la curva es una epicicloide de r pica. Si r no es un número entero pero es racional, el punto trazador P dará la vuelta en torno de la circunferencia fija dos o más veces antes de regresar al punto de partida A ; en este caso , los arcos de la curva de diferentes circuitos se cortarán. Si r es irracional, el punto trazador no regresa exactamente al punto de p artid a. Cuando a = b , de manera que r = 1, tenemos la epicicloide de un pico o cardioide (véase el ejemplo 1 del Artículo 82 y el ejercicio 21 del grupo 41, Artículo 88). De las ecuaciones (1) se deducen las siguientes ecuaciones paramétricas de la cardioide : x = 2a eos 6 — a eos 29 , y = 2a sen 9 — a sen 29 . (2) Una hipocicloide es el lugar geométrico de un punto fijo cualquiera de una circunferencia que rueda interiormente, sin resbalar, sobre otra circunferencia fija. Por un procedimiento semejante al empleado para la epicicloide, podemos demostrar que las ecuaciones paramétricas de la hipocicloide son x — (a — b) eos 9 + b eos ° ^ 9 , ] 7, } (3 ) / i n „ , a — b „ y = {a — b) sen 6 — u sen —-— 9 ,
ECUACIONES PARAMETRICAS 277 en donde a y b so n , respectivam ente, los radios de las circunferencias fija y ro d ante, y el parámetro 9 es el ángulo que la recta de los centros OC forma con la parte positiva del eje X , tal como puede verse en la figura 131. El lector debe observar que las ecuaciones paramétricas (3) de la hipocicloide pueden obtenerse reemplazando b por — b en las ecuaciones paramétricas ( 1) de la epicicloide. Y Sea r la razón de a a b , de modo que a = rb. Si r es un número entero , tenemos una hipocicloide de r picos. La hipocicloide de cuatro picos está representada en la figura 131; esta curva se llama también astroide. Las ecuaciones paramétricas de la astroide pueden simplifi carse de manera que tomen una forma muy simple. A sí, para b = , las ecuaciones paramétricas (3) se convierten en 3a . a _ „ ) x = —• eos 9 + — eos 3 9 , 4 4 ’ 1 3 a a 0 y — — sen 9 — 7- sen 39 . 4 4 Si en estas ecuaciones sustituimos los valores de eos 30 y sen 39 dados por las identidades trigonométricas eos 39 = 4 eos8 9 — 3 eos 9 , sen 39 = 3 sen 9 — 4 sen3 9 ,
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