geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

366 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
31. Sea P i(x4 , yi. Z 4) un punto cualquiera no contenido en el plano
de T. Por medio del teorema 4, Artículo 117, y por el teorema 11, Artículo
120, demostar que la distancia d del punto P 4 al plano de T está dada por
xí yi Zi 1
xi yi zi 1
XI y2 Z2 1
xs yz z 3 1
1 yi z 1 1 2 X\ Zl 1 2 Xl y i l 2
J m Z 2 1 + X 2 Z 2 1 + X 2 1/2 l
ys z s 1 X 3 Z 3 1 X 3 yz l
en donde se debe tomar el valor absoluto del numerador.
32. Por medio de los resultados de los ejercicios 30 y 31, demostrar que el
volumen de un tetraedro cuyos vértices son P¡(xi, yi, zi) , P2 (* 2, y2. Z2) ,
Pz{xz, y3 , Z3) y Pi(x 4, y i, z 4 ) está dado por
xi yi z 1 1
y = x X2 y2 22 I ,
x 3 y 3 z 3 1
x 4 yi z 4 1
debiéndose tomar el valor absoluto del determinante.
33. Hallar el volumen del tetraedro cuyos vértices son (— 4, 6, 3) ,
(8, - 3, 5), (4, 0, - 1) y (5, 3, 9) .
34. Usar el resultado del ejercicio 32 para resolver el ejercicio 4 del grupo 54,
Artículo 118.
35. Usar el resultado del ejercicio 30 para resolver el ejemplo del A rtículo
112.
121. Familias de planos. De la misma manera que en Geometría
analítica plana consideramos familias de curvas, podemos considerar
familias de planos. En el Artículo 116 vimos que un plano y su ecuación
están cada uno perfectamente determinados por tres condiciones
independientes. Según e sto , un plano que satisfaga menos de esas
tres condiciones no está determinado, es decir, no es único. La ecuación
de un plano que satisface solamente dos condiciones independientes
contiene una sola constante arbitraria independiente o parámetro
y , por tanto , representa una fam ilia de planos monoparamétrica.
Un ejemplo de familia de planos con un solo parám etro es la
ecuación
A x + By + Cz + Je = 0 , (1 )
en donde A , B y C son constantes fijas y el parám etro Je puede
tom ar todos los valores reales. E sta ecuación representa a la familia de
planos que son paralelos al plano dado
Ax + By + Cz + D = 0.