geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

244 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
25. r = -------------. 27. sen- 0 — 4r eos3 9 = 0. 29. r = 2(1 — eos (?).
2 — eos 0
26. r = ---------------. 28. r = 2 sec2— . 30. r2 = 4 eos 29.
1 + 2 eos 8 2
82. Trazado de curvas en coordenadas polares. Consideremos
ahora el trazado de curvas dadas en ecuaciones p o la re s, de la m isma
m anera que lo hicim os para la construcción de gráficas de ecuaciones
rectangulares (Arfc. 1 9 ). P ara nuestros fin es, la construcción de curvas
en coordenadas polares constará de los seis pasos siguientes :
1. D eterm inación de las intersecciones con el eje polar y con el
eje a 90°.
2. D eterm inación de la sim etría de la curva con respecto al eje
p o la r, al eje a 90° y al p o lo .
3 . D eterm inación de la extensión del lugar geom étrico.
4. Cálculo de las coordenadas de un núm ero suficiente de puntos
para obtener una gráfica ad e c u a d a .
5. Trazado de la gráfica.
6. Transform ación de la ecuación polar a re ctan g u lar.
E l lector debe o b serv a r, en p a rtic u la r, que la construcción de
curvas en coordenadas polares requiere ciertas precauciones que no se
necesitan para, las coordenadas rectangulares. P or ejem plo, un punto ,
en un sistem a de coordenadas rectangulares, tiene un único p ar de
coordenadas, pero un p u n to , en coordenadas p o lares, tie n e , como
vimos (A rt. 8 0 ), un núm ero infinito de pares de coordenadas. Puede
o c u rrir, entonces, que m ientras un p ar de coordenadas polares de un
punto P de un lugar geom étrico puede satisfacer su ecu ació n , otro par
de coordenadas no la verifica. E sto tiene lu g a r, por ejem plo, en la
ecuación r = ad , a 0 , que representa una curva llam ada espiral de
A rquím edes. A d em ás, un lugar geométrico puede estar representado ,
algunas veces, por m ás de una ecuación p o la r. A s í, la circunferencia
cuyo centro está en el polo y cuyo radio es igual a a , puede representarse
por una de las dos ecuaciones r = a o r = — a. Las ecuaciones que
representan el mismo lugar geométrico se llam an ecuaciones equivalentes.
1. Intersecciones. Las intersecciones con el eje p o la r, cuando
existen , pueden obtenerse resolviendo la ecuación polar dada para r ,
cuando a 8 se le asignan sucesivam ente los valores 0 , ± tí , ± 2 jt,
y , en g e n e ra l, el valor n n , en donde n es un entero cualquiera.
A nálogam ente, si existen algunas intersecciones con el eje a 90° , pue-
TI
den obtenerse asignando a 8 ios valores Jt, en donde n es un nú­
mero im par cualquiera. Si existe un valor de 8 para el cual sea r = 0 ,
la gráfica pasa por el p o lo .