geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

C A PITU LO X V II
CURVAS EN EL ESPACIO
142. Introducción. E n el Capítulo X V hicimos un estudio de la
recta en el espacio. E n este capítulo extenderem os nuestro estudio al
problem a m ás general de la investigación de cualquier curva en el
espacio. Vimos que una recta en el espacio está representada analíticam
ente por dos ecuaciones independientes, que son las ecuaciones de
dos planos diferentes cualesquiera que pasen por la re c ta . Análogam
ente , una curva en el espacio puede representarse analíticam ente
por dos ecuaciones independientes, las ecuaciones de dos superficies
diferentes cualesquiera que pasen por la c u rv a . Según esto , vam os a
establecer la siguiente
D e f i n i c i ó n . L a totalidad de los p u n to s, y solamente de aquellos
p u n to s, cuyas coordenadas satisfacen sim ultáneam ente dos ecuaciones
rectangulares independientes se llam a curva del espacio.
G eom étricam ente, una curva del espacio es la intersección de las
dos superficies diferentes representadas p o r las ecuaciones que la
definen.
Si todos los puntos de una curva en el espacio están en un plano ,
se llam a curva plana; en caso contrario , se llam a curva alabeada.
E l estudiante debe observar que un par de ecuaciones rectangulares
no representan necesariam ente una curva del espacio. A s í, las ecuaciones
x2 + y2 + 22 = 4 y x 1 + y2 + z2 = 9 no representan una curva
, p o rq u e , analíticam ente, estas dos ecuaciones no tienen ninguna
solución co m ú n , y geom étricam ente, como representan dos esferas
concéntricas, no hay curva de intersección. Tam bién , si dos superficies
tienen solam ente un punto en co m ú n , no consideraremos que
definen una curva en el espacio.
Se anotó previam ente (A rt. 123) que las ecuaciones que definen
una recta en el espacio no son ú n ic a s, y que una recta puede representarse
analíticam ente por las ecuaciones de dos planos diferentes