geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

420 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
en la deducción de las relaciones análogas de la G eom etría analítica
plana (A rt. 5 0 , teorem a 1 ). E l resultado obtenido se expresa en
el siguiente
T eo k em a 10. S i los ejes rectangulares son trasladados a un nuevo
origen 0 ; ( h , k , 1 ), y si las coordenadas de un punto cualquiera P del
espacio antes y después de la traslación son ( x , y , z) y (x1, y ', z'),
respectivamente, las ecuaciones de trasformación de las coordenadas originales
a las nuevas son
x = x' + h , y = y ' + k, z = z' + l.
P or una rotación de los ejes coordenados rectangulares en el espacio,
entendem os la operación de m over los ejes coordenados a una nueva
posición haciéndolos girar en torno del
origen como punto fijo de tal m anera
que los nuevos ejes perm anezcan m utuam
en te perpendiculares entre sí y
análogam ente dirigidos uno con respecto
al o tro . Considerem os (fig. 187)
una rotación de los ejes coordenados
rectangulares ta l que el origen O perm
anezca fijo , pero los ejes originales
X , Y y Z tom en las nuevas posiciones
especificadas por los ejes
X I, Y ' y Z', respectivam ente. D esignem
os por (x , y , z) y (a/, y ' , z')
Fig. 187 las coordenadas de un punto cualquiera
P del espacio referido a los
ejes originales y a los nuevos e je s, respectivam ente. D enotem os por
a i , 0 i , yi ; 0.2 , 02, 72 > y «3, 03, Y3, resp ectiv am en te, los ángulos
directores de los ejes X ' , Y ' y Z ' , referidos a los ejes originales.
E stos ángulos directores aparecen ordenados en la siguiente tabla :
E je
X '
Y '
Z '
X Y Z
ai
02
03
02
03
Y1
Y2 ( 1 )
Leyendo esta tabla en sentido horizontal, obtenem os los ángulos directores
de los nuevos ejes con respecto a los ejes originales, y leyendo en
sentido vertical, obtenem os los ángulos directores de los ejes originales
con respecto a los nuevos e je s .