geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

SUPERFICIES 411
15. Verificar el teorema del ejercicio 14 para la superficie cónica
x2 — 4y2 — 4 z 2 = 0.
16. Completando los cuadrados, demuéstrese que la ecuación
x2 + y2 — z 2 — 2x — 4y — Az + 1 = 0
representa una superficie cónica cuyo vértice es el punto ( 1, 2 , — 2 ).
17. Si la ecuación de una superficie es homogénea en las cantidades x — h,
y — k y z — l, en donde h, k y l son constantes, demuéstrese que la superficie
es un cono con vértice en (h, k, l) . (Ver el ejercicio 16.)
18. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se
mueve de tal manera que se mantiene siempre equidistante del plano X Z y del
eje Y . Construir el lugar geométrico.
19. Un punto se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los
planos coordenados es siempre igual a su distancia del origen. Hallar e identificar
la ecuación de su lugar geométrico.
20. Calcular el volumen limitado por las superficies
x3 + y2 — 4z2 = 0 y z = 2.
21. Calcular el área de aquella porción de la superficie cónica
x2 — y2 + z 2 = 0
comprendida entre su vértice y el plano y = 3.
En cada uno de los ejercicios 22 y 23, transfórmese la ecuación rectangular
dada de una superficie cónica en: a) coordenadas esféricas; b) coordenadas
cilindricas.
22. x2 + y2 - 2z2 = 0. 23. x2 - 3y2 + z 2
24. Describir la familia de superficies cónicas representada por la ecuación
x2 + y2 — z 2 tg2 0 = 0 , en donde el parámetro , llamado ángulo generador
del cono, puede tomar todos los valores comprendidos en el intervalo 0 < < k
excepto -Í-. ¿ Qué representa