geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

3 62 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
el resultado de la ecuación (5) puede expresarse en la forma
^ _ A x i -f- Byi + Czi + D
± V A 2 + B 2 + C 2
Un resumen de los resultados precedentes lo establece el teorema
siguiente.
T e o r e m a 11. La distancia dirigida d del punto P i(x i, y i , zi) al
plano Ax + By + Cz + D = 0 se obtiene por la fórmula
^ _ Axí + Byi + Czj + D
± V A 2 + B 2 + C2 ’
en donde el signo del radical se elige de acuerdo con el teorema 10, A rtículo
119.
S i el plano no pasa por el origen, d es positiva o negativa, según que
el punió Pi y el origen estén de lados opuestos o del mismo lado del
plano.
Si el plano dado pasa por el origen, el signo de d se interpreta de
acuerdo con las convenciones adoptadas en el teorema 10, Articulo 119,
para la dirección de la normal al plano y usadas para la determinación
del signo radical.
NOTAS. 1. El estudiante debe comparar este teorema con el teorema 10 del
Artículo 33.
2. Si se requiere solamente la distancia de un punto a un plano, tomamos
el valor absoluto de d.
Ejemplo 1. Hallar la distancia dirigida del punto P ( - 3, —4, 2) al plano
3x + 12y — 4z — 39 = 0. Interpretar el signo de esta distancia.
Solución. Por el teorema 11 anterior, la distancia buscada es
d = 3 ( - 3 )+ 12 ( - 4 ) - 4 ( 2 ) - 39 _ - 104 = _
V 3 2 + 122 + 4 2 13
El signo negativo indica que el punto y el origen están del mismo lado del plano.
b) Ecuaciones de los planos bisectores de los ángulos diedros suplementarios
formados por dos planos que se cortan. Supongamos que los
dos planos son
A ix + Biy + Ciz + Di = 0
A íx + Biy + C2Z + Di = 0 .
Las ecuaciones de los planos bisectores se determinan por el mismo
método empleado en el problema análogo de la Geometría analítica