geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO 227
NOTAS. 1. Si las variables en la ecuación (1) se escriben en la forma:
2 jry+yx, x 4- x y 4- y
x‘ = xx, xy = — —^—2 —, y = y y , * = — -— , y — ^ •
y el subíndice 1 es colocado a una variable en cada término, se obtiene inmediatamente
la ecuación (2) . Este método para recordar la ecuación de la tangente
es muy útil, pero el estudiante debe observar que, según todo lo dtmostrado, se
aplica solamente a las ecuaciones de segundo grado con dos variables.
2. El teorema 6 puede usarse aún cuando no se conozca el punto de contacto.
Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejem plo. Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto
(4, 1) a la cónica
2x2 — xy 4- y2 4- * — 3y 4- 2 = 0. (3)
Solución. Sean (jci, yi) las coordenadas de uno de los dos puntos de contacto.
Entonces, por la nota 1 del teorema 6 anterior, la ecuación de la tangente
en este punto de contacto es
2xix — Vz (xiy 4- y i* )+ y¡y 4- Vi (x 4- *i) - % (y 4- yi) 4- 2 -= 0. (4)
Como el punto (4, 1) debe estar sobre esta tangente, sus coordenadas deben
satisfacer esta última ecuación, y tenemos
8xi — Yz (xi 4- 4yi) 4- yi 4-Vi (4 4- * 1) — % (1 4- yi) 4- 2 = 0,
la cual se simplifica y se reduce a
16xi — ?y 1 4- 5 = 0. (5)
Las coordenadas ( j o , y i ) del punto de contacto satisfacen la ecuación (3) ,
y tenemos
2x!2 — x¡ yi 4- yi2 4- - 3yi 4- 2 = 0. (6)
Las soluciones comunes de las ecuaciones (5) y (6) son x\ = 0, yi = 1, y
xi = y i = Por tanto, los puntos de contacto son (0, 1) y
113 113 V i 13 113/
Las ecuaciones de las tangentes que se buscan pueden obtenerse como ecuaciones
de las rectas que pasan por dos puntos: el punto (4, 1) y cada punto de contacto,
o también sustituyendo las coordenadas de cada uno de los puntos de
contacto en la ecuación (4) . Por cualquiera de los dos métodos obtenemos
y — 1 = 0 y 32* 4- 103y — 231 = 0 para las ecuaciones buscadas.
El estudiante debe trazar la figura correspondiente a este ejemplo.
77. Sistemas de cónicas. En la ecuación general de las cónicas,
A x 2 4- Bxy 4- Cy2 + Dx + Ey + F = 0 , (1)
los coeficientes representan seis constantes arbitrarias que, sin em bargo
, no son independientes, porque uno cuando menos de los tres
coeficientes A , B y C es diferente de cero, y , si dividimos la ecuación
(1) por uno de estos coeficiente 3 diferentes de cero vemos que