geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA 125
45. Tangente a una circunferencia. La determ inación de la ecuación
de una tangente a una circunferencia se simplifica considerablem
ente por la propiedad de la circunferencia , que dice : la tangente a
una circunferencia es perpendicular al radio trazado al punto de conta
c to . E n este artículo determ inarem os la ecuación de la tangente a
una circunferencia sin usar esta propiedad p a rtic u la r; lo harem os por
el m étodo general discutido en el Artículo 44.
E s evidente , por el teorem a 7 del Artículo 44 , que la ecuación de
la tangente a una. circunferencia dada está perfectam ente determ inada
cuando se conocen su pendiente y el punto de con ta i o (o algún otro
de sus p u n to s ). Si se tiene uno de estos d a to s, el otro debe determ inarse
a p a rtir de las condiciones del problem a ; según esto , tenemos
los elem entos necesarios para la solución de cualquier problem a particular
. Vamos a considerar tres problem as , a saber :
1) H allar la ecuación de la tangente a una circunferencia dada en
un punto dado de contacto ;
2) H allar la ecuación de la tangente a una circunferencia dada y
que tiene una pendiente dada ;
3) H allar la ecuación de la tan g en te a una circunferencia dada y
que pasa por un punto exterior d a d o .
E l procedim iento para resolver cada uno de estos problem as es
esencialm ente el m ism o. E n cada caso se da una condición ; de acuerdo
con esto escribirem os prim ero la ecuación de la familia de rectas que
satisfacen esta condición (A rt. 3 6 ). E sta ecuación contiene un p arám
etro que se determ ina aplicando la condición de tangencia dada en
el Artículo 44.
Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia
en el punto (3, 5) .
X 2 + y2 - Sx - (¡y + 20 = 0
Solución. La ecuación de la familia de rectas que pasa por el punto
(3, 5) es
y - 5 = m ( x - 3), (1)
en donde el parámetro m es la pendiente de la tangente buscada. De la ecuación
(1) , y = mx — 3m + 5, y sustituyendo este valor en la ecuación de la circunferencia,
resulta:
que se reduce a
x2 + {mx — 3m + 5) 2 — 8x — 6 (mx — 3m + 5) + 20 = 0,
( m 2 + 1) * 2 — (6 m 2 — 4 m + 8) x + (9m 2 — 12m + 15) = 0.