geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

SUPERFICIES 401
Sea P{x, y, z) un punto cualquiera de la superficie, y supongamos
que la generatriz que pasa por P corta a C en el punto P' (0 , y' , z').
E ntonces, las ecuaciones de esta generatriz son
x _ y — y' _ z — z'
a b c
Además, como P' está sobre C, sus coordenadas satisfacen a las
ecuaciones (1), y tenemos
(2)
f(y', *') = 0 , x1 = 0. (3)
Por la definición de superficie cilindrica , el punto P puede estar sobre
la superficie si y solamente si sus coordenadas (x, y, z) satisfacen a
las ecuaciones (2) y (3) las cuales constituyen un sistema de cuatro
ecuaciones independientes. De estas cuatro ecuaciones podemos eliminar
las tres cantidades x' , y' y z' considerándolas como parám etros
(véase el Artículo 95). El resultado es una sola ecuación en las
tres variables x , y y z, y ésta es la ecuación buscada de la superficie
cilindrica.
Ejemplo 1. Hallar la ecuación de la superficie cilindrica cuya directriz es la
parábola
x2 = 4y, z = 0 (4)
contenida en el plano X Y, y cuyas generatrices
tienen por números directores
[1, 1, 3],
Solución. Supongamos que la generatriz
que pasa por un punto cualquiera
P (x, y, z) (fig. 178) de la superficie corta
a la directriz en el punto P' (x1, y', 0) .
Entonces, las ecuaciones de esta generatriz
son
x - x1 _ y - y' = _z m
1 I 3 ‘
También, como P'
la (4) , tenemos
está sobre la parábo-
: 0. (í>)
Eliminando x', y', z' de las ecuaciones
(5) y (6) por sustitución de los valores de x' y y' dados por las ecuaciones (5)
en la primera de las ecuaciones (6) , obtenemos
9x2 + z2 — bxz — ’iby + 12z = 0, (7)
que es la ecuación buscada de la superficie. El estudiante debe observar que la
traza de la superficie (7) sobre el plano X Y es la directriz (4) .