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248 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
Solución. 1. Intersecciones. Las intersecciones con el eje polar son los
dos puntos (=*= 2, 0) y (=>= 2, jí) . Para 0 = ¿ J t, en donde n es un número
impar cualquiera, r es complejo, y, aparentemente, no hay intersecciones con
el eje a 90°. Pero, para 6 = -5-, r = 0, de manera que el polo está sobre la
curva.
2. Simetría. La ecuación (3) satisface todas las pruebas de simetría del
teorema 2. Por tanto, la curva es simétrica con respecto al eje polar, al eje a 90°
y el polo.
3. Extensión. El valor máximo de eos 26 es 1. Por tanto, de la ecuación
(3) , el valor máximo de r es 2, lo que nos dice que se trata de una curva
cerrada. Cuando el ángulo 20 está comprendido entre -í- y ~ , eos 26 es ne­
gativo y los valores de r son complejos. Luego, no hay curva entre las rectas
. i l)t
e = — y — .
4 4
4. Cálculo de coordenadas. Las coordenadas de varios puntos pueden obtenerse,
directamente, de la ecuación (3) . Teniendo en cuenta la simetría del
lugar geométrico y el intervalo de variación de los valores excluidos de 6,
basta asignar a 6 solamente valores de 0° a 45°. Las coordenadas de algunos
puntos figuran en la tabla siguiente.
Fig. 115
6 eos 26 r = =t 2 \ / eos 26
0° 1 — 2
15° 0,866 ± 1,86
0,5 ± 1,41
45° 0 0
5. Construcción de la curva. La curva buscada, trazada en la figura 115,
es conocida con el nombre de lemniscata de Bernoulli. El lector debe notar que,
aunque en la ecuación (3) , aparece el ángulo 26, se trazan siempre los valores
del ángulo sencillo 9 y los valores correspondientes de r.
6 . Ecuación rectangular. Como las ecuaciones de transformación del teorema
1, Artículo 81, contienen funciones de un ángulo sencillo, escribírnosla
ecuación (3) en la forma (Apéndice IC, 7)
O
r2 = 4 (eos2 6 — sen2 6) .
Multiplicando ambos miembros por r2, obtenemos
r4 = 4 (r2 eos2 6 — r2 sen2 6) ,