geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

EL PUNTO EN EL ESPACIO 339
Ejemplo. Hallar un sistema de números directores para una recta cualquiera
l que sea perpendicular al plano que contiene el triángulo cuyos vértices
son P¡ (2, - 1, 1) , P 2 ( - 3, 2, 2) y P 3 (3, 3, - 2) .
Solución. Por el corolario 2 del teorema í. Artículo 111, dos sistemas de
números directores para los lados P\ P 2 y P1 P3 son, respectivamente,
[ - 3 - 2 , 2 + 1, 2 -1 ], o sea, [-5, 3, 1]
[3-2, 3 + 1, - 2 - 1 ] , o sea, [1, 4, - 3 ].
Por tanto, por el artificio de los números directores, los números directores
de í son
3 1 1 - 5 - 5 3
------13, = - 14,
4 - 3 - 3 1 1 4
Los resultados de este capítulo son de importancia fundamental en
el estudio de la Geometría analítica del espacio. Por esto se recomienda
al estudiante que haga un cuadro resumen con todos ellos.
EJER C IC IO S. Grupo 52
1. Hallar el coseno del ángulo formado por las dos rectas dirigidas cuyos
cosenos directores son
U V b , /3 y/b , — V o y — Vi V ~ Í4 , *{4 V /'Í4 , }íi V 14.
2. Hallar el ángulo formado por las dos rectas dirigidas cuyos cosenos
directores son n , — /7 , /7 y — % , Vi , % .
3. Si las dos rectas del teorema 6, Artículo 112, están en el plano XY,
demuéstrese que la relación se reduce a eos 6 = eos ai eos 0C2 + eos ¡3j eos P2.
(Ver el ejercicio 20 del grupo 14, Art. 37.)
4. La recta li pasa por los puntos (—6, — 1, 3), (—3, 2, 7) , y la
recta / 2 pasa por los puntos (4, 2, 1), (3, —2, 5). Hallar el ángulo agudo
formado por 11 y l 2.
5. Los números directores de las rectas li y I2 son [2, — 1, 2] y
[6, 2, —3], respectivamente. Hallar el ángulo obtuso formado por h y / 2.
6. Por dos métodos diferentes demostrar que los puntos (3, — 5, 2 ),
(—5, 2, 3) y (2, 3, —5) son los vértices de un triángulo equilátero.
7. Demostrar que los puntos (4, 0, 1), (5, 1, 3), (3, 2, 5) y (2, 1, 3)
son los vértices de un paralelogramo.
8. Hallar el ángulo agudo del paralelogramo del ejercicio 7.
9. Hallar los ángulos del triángulo cuyos vértices son (4, 1, 0) ,
(2, - 1, 3) y (1, - 3 , 2 ).
10. Demostrar que los puntos (2, 1, 3 ), (3, 3, 5) y (0, 4, 1) son los
vértices de un triángulo rectángulo, y hallar sus ángulos agudos.
11. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son (1, 0, 1), (2, — 2, 3)
y (7, - 2, 4) .
12.. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son (6, 2, 1), (4, — 1, 3)
y (-2, 1, 0).