geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO 219
Este sistema tiene una solución única para hyk, dada por la regla de
Cramer (Apéndice IB , 6 ) , solamente si el determinante del sistema
2 A B
B 2 C
= 4A C - B 2 0.
Por tanto , si la ecuación (1) es del género parábola , en donde
I = B 2 - 4AC = 0,
no podemos eliminar los términos de primer grado comenzando por una
traslación. En general, por lo tanto , simplificaremos la ecuación (1)
girando primero los ejes.
EJERCICIOS. Grupo 34
Los ejercicios 1-5 se refieren a las ecuaciones (1) y (2) del Artículo 74.
1. Demostrar que la cantidad B2 — 4AC es invariante por rotación, demostrando
que B'2 — 4A'C' = B2 — 4AC. (Relación [5], Art. 74.)
2. Demostrar que la cantidad A + C es invariante por rotación, haciendo
ver que A’ + C = A + C. Sugestión. Usense la primera y tercera relaciones
de (3) , Art. 74.
3. Si B ?== 0 pero uno cualquiera de los coeficientes A o C es cero, o
ambos A y C son cero, demuéstrese que la ecuación (1) es del género hipérbola.
4. Si A y C difieren en el signo, demuéstrese que la ecuación (1) es del
género hipérbola ya sea que B sea positivo, negativo o nulo.
5. Demostrar que la ecuación (1) es del género parábola si los términos de
segundo grado forman un cuadrado perfecto.
En los ejercicios 6-16, determinar la naturaleza de la cónica que representa la
ecuación dada, y reducir la ecuación a su forma canónica por transformación de
coordenadas. Trazar el lugar geométrico, cuando exista, y todos los sistemas
de ejes coordenados.
6. 4*2 - 24*y + 11 y2 + 56* - 58y + 95 = 0.
7. 4* 2 - 12xy + 9y2 - 8 V U x - 14 V U y + 117 = 0.
8. 3x2 - 4xy - 4y2 + 16* + Iby - 1 2 = 0 .
9. 5*2 + 2xy + 10y2 - 12* - 22y + 17 = 0.
10. x2 + 8 xy + I6y2 — 4x — 16y + 7 = 0.
11. 12*2 + 12*y + 7y2 - 4* + 6y - 1 = 0.
12. 2*2 - 12*y + 18y2 + * - 3y - 6 = 0.
13. 8*2 - 24 *y + 15y2 + 4y - 4 = 0.
14. 3*2 - 2xy + 3 y2 + 2 V í x - 6 \/2y + 2 = 0.
15. 4*a — 20* y + 25 y2 + 4* — lOy + 1 = 0 .
16. *^ + 2*y + y2 + 2* - 2y - 1 = 0.