geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

LA LINEA RECTA 93
Si ahora hacemos en (6) x = xi y y = yi, hallam os, en vista
de (7 ) y (8), que
fe • 0 -|- fe • 0 — 0 ,
que es verdadera para todos los valores de fe y f e . Por ta n to , la
ecuación (6) representa todas las rectas que pasan por Pi(xi, yi) ,
punto de intersección de las rectas (4) y (5). En p articu lar, para
fe 0 , fe = 0 , obtenemos la recta (4) de (6), y de ki = 0 , fe ^ 0,
obtenemos la recta (5).
En general, sin embargo , no nos interesa obtener las rectas (4 ) y
(5 ) a partir de (6). Podem os, por ejemplo, eliminar la recta (5)
de la familia (6 ) especificando que fe puede tom ar todos los valores
reales excepto cero. Bajo esta hipótesis podemos dividir la ecuación (6)
fe
por ki, y si reemplazamos la constante y por k , (6) toma la forma
más simple
Aix + B\ y + Ci + k(AiX + Biy + C2) = 0 , (9)
en donde el parámetro k puede tom ar todos los valores reales. La
ecuación (9) representa entonces la familia de todas las rectas que
pasan por la intersección de las rectas (4 ) y (5), con la única excepción
de la recta (5).
La importancia de la forma (9) está en que nos permite obtener
la ecuación de una recta que pasa por la intersección de dos rectas
dadas sin tener que buscar las coordenadas del punto de intersección.
Y
Ejemplo 2, Hallar la ecuación de la recta de pendiente — 3 y que pasa por
la intersección de las rectas Ax + 2y — 13 = 0 y 3x — 7y ~¡- 3 = 0.