geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

EL PUNTO EN EL ESPACIO 323
( x i, 0 , 0 ) , respectivamente. Por tanto, por el teorema 1 del Artículo
3 , tenemos
A nálogam ente, tenemos
y
Pi Vi = Ai A 2
Pi V2 = Bi B 2
Pl Fs = Cl C2 = 22 - 21 .
Sustituyendo estos valores en la ecuación (1), tenemos
de donde,
d,2 - (Z2 — x i )2 + ( y 2 — y i )2 + (z2 — z i)2,
d = V ( x 2 — x \)2 + {y-¿ — y i )2 + (z2 — Z i)2
D e aquí el siguiente
Teorema 1. L a d ista n cia d entre los dos puntos Pi(xi, y i , zi) y
P2 (x2, y2 , zs) está dada p o r la f ó rm u la
d = V ( x2 — xi )2 -t- ( y 2 — yi )2 -+- ( z2 — zi )2.
NOTAS. 1. Si los puntos P 1 y P2 están sobre el plano X Y , las coordenadas
zi y z 2 son ambas cero, y la fórmula dada en el teorema 1 se reduce a la
fórmula dada en Geometría analítica plana, en el teorema 2 del Artículo 6 .
2. Por medio del teorema 1 y las definiciones de las coordenadas de un punto,
podemos determinar fácilmente la distancia de cualquier punto del espacio a
cada uno de los planos y ejes coordenados, y al origen. Así, (fig. 156) las
coordenadas del punto B1 son (0, y 1, 0) . Por tanto, para 1a distancia de P1
al eje Y, tenemos
i P i £ 1 | = V (0 - xi) 2 -f- C5/1 - yi) 2 + (0 - zij 2 = V * i2 + zi2.
Ejem plo. Demostrar que el punto P1 (2, 2, 3) equidista de ¡os puntos
P 2 (l, 4 ,-2 ) y P3 (3, 7, 5).
Solución. Según el teorema 1 anterior, tenemos
I p T p 'z I = V (1 - 2 ) 2+ (4 - 2)2 + ( - 2 - 3)2 = \ / 30
y ____ __________________________________ _
I P 1P 3 I = V ( 3 — 2 ) 2 + (7 - 2 ) 2 + ( 5 - 3) 2 = v 7 30.
Por tanto, | P 1P2 | = I P iP 3 [• El estudiante debe trazar la figura correspondiente
al ejemplo.
109. División de un segmento en el espacio en una razón dada.
Ahora consideraremos la división de un segmento dado en el espacio
en una razón dada. Esto e s , sim plem ente, una ampliación del