geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

dadas en el teorema 2 del Artículo 51. Tenemos :
A (x' eos 0 — y' sen 0 )2 + B {x' eos 9 — y' sen 9 ) (x; sen 9 + y' eos 0)
+ C(x' sen 9 + y1 eos 6 )2 + D (x' eos 6 — y’ sen 9)
+ E (x' sen 9 + y' eos 9 ) + F = 0.
Si desarrollamos y agrupamos los térm icos, obtenemos
en donde,
ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO 213
A ’xn + B ’x’y’ + G’yn + D 'xf + E 'y' + F> = 0 , (2)
A 1 = A eos2 9 + B sen 9 eos 9 + C sen2 6 ,
B ' = 2(C — A) sen 9 eos 9 + B {eos2 9 — sen2 9),
C 1 — A sen2 9 — B sen 9 eos 9 + C eos2 0,
D ' = D eos 9 + E sen 9 ,
E ' = E eos 6 — D sen 9 ,
F ' = F .
Si la ecuación transformada (2 ) va a carecer del término en x'y' ,
el coeficiente de B ' debe anularse. Por tan to , debemos tener
2 (C — A ) sen 9 eos 9 + B (eos2 9 — sen2 9 ) = 0.
Por medio de las fórmulas trigonométricas del ángulo doble (Apéndice
IC , 7 ), esta últim a ecuación puede escribirse en la forma
(3)
(O — A ) sea 29 + B eos 29 = 0. (4 )
Si A C , de la ecuación (4) tenemos la relación
Si A = C , entonces la ecuación (4) se reduce a la forma
B eos 29 = 0.
Como B 0 , por hipótesis, se sigue (Apéndice IB , 2) que
eos 29 = 0. (5)
El ángulo de rotación 9 queda restringido al intervalo 0o < 9 < 90°
(nota , teorema 2 , A rt. 5 1 ), de manera que el intervalo de variación
para 20 es 0o £ 29 < 180°. Por ta n to , de la ecuación ( 5 ) , tenemos
29 = 90° y 9 = 45°.