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GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS 43
NOTAS. 1. Una curva puede tener más de una asíntota vertical u horizontal.
Así, la curva cuya ecuación es
1
y ( * - ! ) ( * - 2 )
tiene dos asíntotas verticales, x = \ y x — 2.
2. La discusión anterior sugiere un método general para obtener las ecuaciones
de las asíntotas verticales y horizontales. Para obtener las ecuaciones de las
asíntotas verticales, resuélvase la ecuación dada para y en función de x e iguálese
a cero cada uno de los factores lineales del denominador; estas son las ecuaciones
buscadas. Análogamente, para obtener las ecuaciones de las asíntotas
horizontales, resuélvase la ecuación dada para jc en función de y e iguálese
a cero cada uno de los factores lineales del denominador.
3. Para muchas ecuaciones en las variables x y y, veremos que, frecuentemente,
es ventajoso investigar el comportamiento de una de las variables
cuando a la otra se le dan valores cada vez más grandes en valor absoluto.
Esto es particularmente útil para la determinación de las asíntotas. Así, para
la ecuación (2) de nuestro ejemplo,
si damos valores a x cada vez más grandes, en valor absoluto, el valor de y se
aproxima a cero. Es decir, a medida que el punto sobre la curva se aleja indefinidamente
del origen, ya sea hacia la derecha o hacia la izquierda, la curva se
aproxima a la recta y — 0 que, por lo tanto es una asíntota horizontal.
Análogamente, si escribimos la ecuación (3) en la forma
vemos que, a medida que y toma valores cada vez mayores en valor absoluto,
je se aproxima a 1. Por tanto, x = 1 es una asíntota vertical.
4. El estudiante debe observar la ventaja de usar las asíntotas de una curva,
cuando existen, en el trazado de la curva. Las asíntotas actúan como lineas
guía de la gráfica.
19. Construcción de curvas. La discusión de una ecuación y su
representación gráfica constituyen, en conjunto , un problema de tan
gran importancia en todas las ramas de la M atem ática y sus aplicaciones
, que se le ha dado el nombre especial de construcción de curvas.
Dedicaremos el presente artículo a hacer un resumen de los resultados
obtenidos en los artículos inmediatamente precedentes. Desde nuestro
punto de v ista , el trazado de una curva constará de los seis pasos
siguientes :
1. Determinación de las intercepciones con los ejes coordenados.
2. Determinación de la simetría de la curva con respecto a los
ejes coordenados y al origen.
3. Determinación de la extensión de la curva.