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446 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
146. Construcción de las curvas del espacio. En este artículo
vam os a hacer un breve resum en de los métodos que pueden emplearse
en la construcción de las curvas del espacio partiendo de las ecuaciones
que la definen. Si una de las ecuaciones de una curva representa un
p la n o , la curva es una curva plana y puede construirse como se discutió
en el Artículo 143. Si am bas ecuaciones de una curva representan
cilindros rectos cuyas generatrices son perpendiculares a un plano coordenado
, la curva puede construirse como se bosquejó en el A rtículo
144. Si las ecuaciones que definen la curva del espacio no caen bajo
ninguno de estos dos caso s, procedemos como se indicó en el A rtículo
145, a saber, determ inar las ecuaciones de los tres cilindros proyectantes
y construir entonces la curva como intersección de dos cualesquiera
de estos cilindros. E l proceso en este últim o caso consiste en
reducir el problem a a uno de los dos prim eros casos.
Ejemplo 1. Construir la curva
* 2 + 2y2 + 3z2 - 27 = 0, x2 - 2y2 - z2 + 9 = 0. (D
por medio de sus cilindros proyectantes.
Fíg. 195
Solución. Eliminando una variable sucesivamente entre las ecuaciones (1) ,
obtenemos las tres ecuaciones
y2 + z2 = 9, (2)
B
x2 + z2 = 9, (3)
x2 - y2 = 0. (4)
El lugar geométrico de la ecuación (4) consta de los dos planos
x + y = 0 y x — y = 0 ;
por tanto, la intersección de las superficies (1) consta de dos curvas planas.
Una porción de cada una de estas curvas aparece en la figura 195. La porción
APB de una curva está en el plano x — y = 0; el método de construir cualquier
punto P de esta curva como intersección del plano x -- y = 0 y el cilindro (2)
y