geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

LA RECTA EN EL ESPACIO 379
Dos cualesquiera de los tres planos proyectantes son suficientes para determinar
la recta l. Usemos, por ejemplo, los planos proyectantes (3) y (4) para
construir la recta l, tal como se ve en la figura 169. Dos de los puntos de l,
Pi y £*2, determinados por estos planos, están sobre los planos coordenados;
estos puntos se llaman puntos de penetración o trazas de la recta l.
El método para localizar cualquier punto P de la recta l también está indicado
en la figura 169. Esto se logra haciendo pasar un plano 8 paralelo al plano
Y Z. El plano 8 corta a los planos proyectantes en dos rectas, h y 12 ; el
punto P es entonces el punto de intersección de h y 12. Este método es de considerable
importancia para localizar cualquier punto sobre una curva del espacio;
será considerado más adelante en el Capítulo XVII.
Las ecuaciones de dos de los planos proyectantes de la recta (1 )
pueden escribirse en la forma
Se les llama forma proyección de las ecuaciones de una recta. Esta
forma es útil para ciertos tipos de problemas ; el siguiente ejemplo es
una ilustración de e sto .
Supongamos que las ecuaciones de una recta l se nos dan en la
forma general (1). Queremos demostrar que l está en un plano particular
cuya ecuación puede escribirse en la forma
Un m étodo, por supuesto, es obtener las coordenadas de dos de los
puntos de l y demostrar que satisfacen a la ecuación (7). Un segundo
método consiste en demostrar que l es perpendicular a la normal al
plano (7 ) y que uno de sus puntos está sobre ese plano. Un tercer
método consiste en demostrar que la ecuación (7 ) se convierte en una
identidad en x cuando y y z son reemplazadas por sus valores deducidos
de la forma proyección (6 ) de l. Un cuarto método es demostrar
que el plano (7 ) es un miembro de la familia de planos (2). En el
siguiente ejemplo vamos a aplicar el tercer m étodo.
Ejemplo 2. Demostrar que la recta
está contenida en el plano
y = mx + b , \
z = nx + c . /
Solución. Eliminando las variables z y y sucesivamente de las ecuaciones
(8), hallamos que las ecuaciones de la recta en función de los planos proyectantes
(forma proyección) son
( 6 )
AsX + Buy + Czz + Dz = 0. (7 )
3x -j- 4y — 2z + 7 = 0, x — y — 3z + 3 = 0, (8)
x + 6y + 4z + 1 = 0.
(9)