geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

TRANSFORMACION DE COORDENADAS 137
Como la ecuación transformada debe carecer de términos de primer grado, igualaremos
a cero los coeficientes de x' y y' en la ecuación (4) . Tendremos
de donde,
Ih + 6 = 0 y 8k - 8 = 0,
h = - 3 y k = 1.
Por tanto, el nuevo origen es el punto ( — 3, 1) . Si sustituimos estos valores
de h y k en (4) , obtenemos la ecuación buscada
x i2 _ 4 y /2 _ 4 = 0 . (5)
El lugar geométrico, una hipérbola, está trazado en la figura 68.
y ' y
Segundo método. En el caso de ecuaciones de segundo grado que carezcan
del término en xy, es posible efectuar la transformación completando los cuadrados.
Este método se enseñó previamente en el Artículo 40 para la circunferencia.
Así, los términos de la ecuación (3) pueden ordenarse en la forma
Completando cuadrados, obtenemos
de donde,
(.x2 + 6x) - 4 (y2 - 7 y) = - 1.
U 2 +bx + 9) - 4(y» - 2y + 1) = - 1 + 9 - 4.
Si en la ecuación (6) hacemos las sustituciones
(x + 3)2 _ 4(y _ 1)2 = 4. (6)
x + 3 = x', y - 1 = y', (7)
obtenemos la ecuación (5) . Evidentemente, de (7) se deducen las ecuaciones
de transformación:
x = x' - 3, y = y' + 1.
En el enunciado del ejemplo 2 se ha indicado el tipo de simplificación
deseado ; si en algún problema no se especifica , debemos efectuar
la máxima simplificación posible.
Ejemplo 3. Por una traslación de ejes simplificar la ecuación
y2 - 4x - 6y + 17 = 0. (8)