geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

EL PLANO 367
Una familia de planos particularm ente útil es el sistema de planos
que pasan por la intersección de dos planos dados cuyas ecuaciones
pueden tomarse en las formas
A \x + Biy + Ciz + Di = 0 , (2)
A ix + Biy + Ciz + Di = 0. (3 )
Cualquier punto cuyas coordenadas satisfagan ambas ecuaciones (2 ) y
(3 ) está sobre su recta de intersección. Evidentem ente, las coordenadas
de tal punto satisfacen también la ecuación
ki(Aix + Biy + C\Z + Di)-\-k¡ (A¡% + B¡y + C¡z + D 2 ) = 0 , (4 )
en donde h y fe son constantes arbitrarias que pueden tom ar todos
los valores reales exceptuando el caso en que ambas sean cero sim ultáneamente.
Además, como la ecuación (4) es lineal, representa todos
los planos que pasan por la intersección de los planos dados (2) y (3).
Procediendo como en el caso de una familia de rectas que pasan por la
intersección de dos rectas dadas (A rt. 36), vamos a eliminar el plano
(3 ) de la familia (4) con el fin de obtener la ecuación más simple
A ix + B\y + Ciz + Di + k(Aix + Biy + Ciz + D¡) = 0 , (5)
en donde el parám etro k puede tom ar todos los valores reales. Se dice
que la ecuación (5 ) representa un haz de planos, y a su recta común
de intersección se le llama eje o arista del haz.
Ejem plo. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P (2, 5, — 1)
y por la recta de intersección de los planos
4x + y — 2 z — 8 = 0 y 3x — y + 4z — 4 = 0.
Solución. Por la ecuación (5) anterior, el plano buscado es un elemento
del haz de planos que tiene por ecuación
4* + y — 2z — 8 + k {3x — y + 4z — 4) = 0. (6)
Como el plano buscado pasa por el punto P, las coordenadas (2, 5, — 1) de P
deben satisfacer la ecuación (6) , y tenemos
4 . 2 + 5 — 2 ( — l)-8 + /t(3.2 — 5 + 4(— 1) — 4) = 0,
de donde k — 1. Sustituyendo este valor de k en la ecuación (6) y simplificando,
tenemos, como ecuación del plano que se busca
7x + 2z — 12 = 0.
El estudiante debe dibujar la figura para este ejemplo.