geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

250 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
de los lugares geom étricos, representan las coordenadas r y 6 de los
puntos de intersección. D ebem os hacer n o ta r , sin em bargo , que en
coordenadas polares este problem a puede presentar dificultades que no
se presentan en coordenadas rectangulares, debido a que las coordenadas
polares de un punto no son ú n ic a s. Por esta razón puede ocurrir
q u e , p ara un punto particular P de intersección de dos c u rv a s,
las coordenadas polares de P que satisfacen la ecuación de una de las
curvas no satisfagan la ecuación de la otra , pero satisfagan a una de
sus ecuaciones equivalentes. P or e s to , con el fin de evitar tales dificultades
, es m e jo r, generalm ente, dibujar am bos lugares geom étricos con
referencia al mismo polo y eje polar y considerar entonces cada punto
de intersección individualm ente , tal como indique la fig u ra.
Ejemplo. Hallar, analítica y gráficamente,
las curvas cuyas ecuaciones son
r = a8, j ^ 0 ,
Solución.
ción (2) una
90°
los puntos de intersección de
La ecuación (1) representa la espiral de Arquímedes, y la ecua-
recta que pasa por el polo, como se ha representado en la figu­
( 1)
(2)
ra 116. La porción punteada de la
espiral corresponde a los valores negativos
de 0 en la ecuación ( 1) .
Ambas líneas son ilimitadas y, evidentemente,
tienen un número infinito
de puntos de intersección. A hora,
si sustituimos el valor de 6 dado
por la ecuación (2 ) , en la ecuación
(I) hallamos — , es decir, ob-
4
tenemos las coordenadas ( Jtg k \
4 ’ T )
de solamente un punto de intersección,
el punto Pi. Pero la recta (2)
puede estar representada también por
• > • 9 j t
su ecuación equivalente, 9 = — , de
4
la cual, junta con la ecuación ( 1) ,
obtenemos las coordenadas ü í j del punto de intersección P2. De ma-
\ 4 4 /
ñera semejante, otra ecuación equivalente de la recta (2) es 6 = — que da
Evidentemente, hay un número infinitamente grande de
ecuaciones equivalentes de la recta (2) por medio de las cuales podemos obtener
las coordenadas de cualquier número de puntos de intersección. El lector debe
hallar las coordenadas del polo y de los puntos P 4 y Ps de la figura 116, todos
los cuales son puntos de intersección.