geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

410 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
que es una parábola que está en el plano z = 2. Trazando varias generatrices
(rectas que pasan por el origen y por puntos de esta curva) podemos obtener
una figura adecuada. Una porción de la superficie se ha trazado en la figura 181
junto con otra directriz, x2 = 2y, z = — 2. Evidentemente, el eje 2 es también
una generatriz de esta superficie cónica.
EJERCICIOS. Grupo 63
En cada uno de los ejercicios 1-5, se dan las ecuaciones de la directriz y las
coordenadas del vértice de una superficie cónica. Hallar la ecuación de la superficie
y construirla.
1. X2 + y2 = 4, z = 2; (0, 0, 0) .
2. z2 = 4y, X = 0; (2, 0, 0) .
3. y2 + z2 = 9, x = 2; ( - 1, 1, 0) .
4. * 2 - 4z2 = 4, y = 3; (-1,1,1).
5. y = x3, z = 2; (0, 0, 0) .
En cada uno de los ejercicios 6-13, identifiqúese y construyase la superficie
cuya ecuación se da.
6. x2 + y2 — 2 z2 = 0. 10 . x2 — 2 yz = 0.
7. x2 — 2y2 + 4z2 == 0. 11. 4z3 — x2y = 0.
8. 2x2 - 4y2 - z2 = 0. 12. 8x4 - yz3 = 0.
9. y2 + xz = 0. 13. xy + xz + yz = 0.
14. Demostrar el siguiente teorema: La ecuación Ax2 + By2 + Cz2 = 0
representa una superficie cónica sí y solamente si todos sus coeficientes son diferentes
de cero y no son del mismo signo. Su eje está entonces sobre el eje coordenado
correspondiente a la variable cuyo coeficiente es de signo contrarío al de
los otros dos coeficientes.