geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR 291
La ecuación (5 ) nos dice que la curva es simétrica con respecto al
eje Y y asintótica al eje X . E l estudio completo de la curva se deja
como ejercicio al estudiante.
99. Tres famosos problemas de la antigüedad. Tres problemas
geométricos se hicieron famosos por los vanos esfuerzos que hicieron los
antiguos matemáticos griegos para resolverlos utilizando solamente la
regla y el compás. Estos problemas son
a) La duplicación del cubo.
b ) La trisección de un ángulo arbitrario.
c) La cuadratura del círculo.
Modernamente se ha demostrado que la solución de cualquiera de
estos problemas es imposible por medio de la regla y el compás solamente
, Dedicaremos este artículo a un breve estudio de cada uno de
estos célebres problemas , ligados a curvas también famosas.
a) Duplicación del cubo. Este
problema significa la obtención de la
arista de un cubo cuyo volumen sea
igual al doble del volumen de un cubo
dado. Demostraremos en seguida que
este problema puede resolverse por
medio de la curva llamada cisoide de
D iocles.
Sea C el centro y O A = 2 a (figura
138) el diámetro fijo del círculo
generador de la cisoide. Con estos
datos y los ejes indicados en la figura
la ecuación rectangular de la curva es
y ' - (1)
F ig. 138
Tracemos CD = 2a perpendicular al
eje X , y sea E el punto de intersección de DA con la cisoide. T racemos
F E , la ordenada de E . De los triángulos semejantes DCA y
EFA, tenemos
o se a ,
FA = CA_ _ _a _
Y e CD 2a ’
F A = V2 F E . ( 2 )