geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

More documents

Recommendations

Info

226 G EO M E TR IA A N A LITIC A PLANA 6. Demostrar que cualquier punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (2) es un punto que satisface la condición geométrica (1) del Artículo 75. 7. Hallar las coordenadas del vértice de la parábola del ejercicio 1. 8. Hallar las coordenadas del centro de la elipse del ejemplo 1, Artículo 75. 9. Demostrar que la ecuación (7) del Artículo 75 se deduce de la ecuación (6) del mismo artículo. 10. En la ecuación (7) del Artículo 75, demostrar que si k = — el denoe „2 (U — 2 . (b __
ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO 227 NOTAS. 1. Si las variables en la ecuación (1) se escriben en la forma: 2 jry+yx, x 4- x y 4- y x‘ = xx, xy = — —^—2 —, y = y y , * = — -— , y — ^ • y el subíndice 1 es colocado a una variable en cada término, se obtiene inmediatamente la ecuación (2) . Este método para recordar la ecuación de la tangente es muy útil, pero el estudiante debe observar que, según todo lo dtmostrado, se aplica solamente a las ecuaciones de segundo grado con dos variables. 2. El teorema 6 puede usarse aún cuando no se conozca el punto de contacto. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejem plo. Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto (4, 1) a la cónica 2x2 — xy 4- y2 4- * — 3y 4- 2 = 0. (3) Solución. Sean (jci, yi) las coordenadas de uno de los dos puntos de contacto. Entonces, por la nota 1 del teorema 6 anterior, la ecuación de la tangente en este punto de contacto es 2xix — Vz (xiy 4- y i* )+ y¡y 4- Vi (x 4- *i) - % (y 4- yi) 4- 2 -= 0. (4) Como el punto (4, 1) debe estar sobre esta tangente, sus coordenadas deben satisfacer esta última ecuación, y tenemos 8xi — Yz (xi 4- 4yi) 4- yi 4-Vi (4 4- * 1) — % (1 4- yi) 4- 2 = 0, la cual se simplifica y se reduce a 16xi — ?y 1 4- 5 = 0. (5) Las coordenadas ( j o , y i ) del punto de contacto satisfacen la ecuación (3) , y tenemos 2x!2 — x¡ yi 4- yi2 4- - 3yi 4- 2 = 0. (6) Las soluciones comunes de las ecuaciones (5) y (6) son x\ = 0, yi = 1, y xi = y i = Por tanto, los puntos de contacto son (0, 1) y 113 113 V i 13 113/ Las ecuaciones de las tangentes que se buscan pueden obtenerse como ecuaciones de las rectas que pasan por dos puntos: el punto (4, 1) y cada punto de contacto, o también sustituyendo las coordenadas de cada uno de los puntos de contacto en la ecuación (4) . Por cualquiera de los dos métodos obtenemos y — 1 = 0 y 32* 4- 103y — 231 = 0 para las ecuaciones buscadas. El estudiante debe trazar la figura correspondiente a este ejemplo. 77. Sistemas de cónicas. En la ecuación general de las cónicas, A x 2 4- Bxy 4- Cy2 + Dx + Ey + F = 0 , (1) los coeficientes representan seis constantes arbitrarias que, sin em bargo , no son independientes, porque uno cuando menos de los tres coeficientes A , B y C es diferente de cero, y , si dividimos la ecuación (1) por uno de estos coeficiente 3 diferentes de cero vemos que
Page 1 and 2:
INDICE GEOMETRIA ANALITICA PLANA CA
Page 3 and 4:
INDICE XI Articulo Página 56. Ecua
Page 5 and 6:
INDICE XIII CAPITULO XIV Articulo E
Page 7 and 8:
CAPITULO PRIM ERO SISTEMAS DE COORD
Page 9 and 10:
SISTEMAS DE COORDENADAS 3 En efecto
Page 11 and 12:
SISTEMAS DE COORDENADAS 5 La distan
Page 13 and 14:
SISTEMAS DE COORDENADAS eje Y , med
Page 15 and 16:
SISTEM AS DE COORDENADAS 9 3. Si A,
Page 17 and 18:
SISTEMAS DE COORDENADAS 11 6. Dista
Page 19 and 20:
SISTEM AS DE COORDENADAS 13 Por Geo
Page 21 and 22:
SISTEMAS DE COORDENADAS 15 EJERCICI
Page 23 and 24:
SISTEMAS DE COORDENADAS D efinició
Page 25 and 26:
SISTEMAS DE COORDENADAS 19 Ejemplo.
Page 27 and 28:
SISTEMAS DE COORDENADAS 21 pendient
Page 29 and 30:
SISTEMAS DE COORDENADAS 23 Recípro
Page 31 and 32:
SISTEMAS DE COORDENADAS 25 10. Hall
Page 33 and 34:
SISTEMAS DE COORDENADAS 27 todos lo
Page 35 and 36:
SISTEMAS DE COORDENADAS 29 Por hip
Page 37 and 38:
SISTEMAS DE COORDENADAS 31 CONDICIO
Page 39 and 40:
GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES G
Page 41 and 42:
Page 43 and 44:
GRAFICA DE U N A ECUACION Y LUGARES
Page 45 and 46:
GRAFICA DE U N A ECUACION Y LUGARES
Page 47 and 48:
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54:
Page 55 and 56:
Page 57 and 58:
Page 59 and 60:
Page 61 and 62:
Page 63 and 64:
LA LINEA RECTA 57 Pi (x i, yi) y P
Page 65 and 66:
LA LINEA RECTA 59 f 27. Otras forma
Page 67 and 68:
LA LINEA RECTA 61 2. Si se multipli
Page 69 and 70:
LA LINEA RECTA 63 Ejemplo 2. Hallar
Page 71 and 72:
LA LINEA RECTA 65 28. Las ecuacione
Page 73 and 74:
LA LINEA RECTA 67 partir de una con
Page 75 and 76:
También , por ser las pendientes i
Page 77 and 78:
LA LINEA RECTA 71 10 . En ¡as ecua
Page 79 and 80:
LA LINEA RECTA 73 Para las posicion
Page 81 and 82:
LA LINEA RECTA 75 Aunque (5) y {(3)
Page 83 and 84:
en donde, LA LINEA RECTA 77 5 7 11
Page 85 and 86:
LA LINEA RECTA 79 La longitud de la
Page 87 and 88:
LA LINEA RECTA y de (9) y 5 (c), 5
Page 89 and 90:
LA LINEA RECTA 83 y designemos por
Page 91 and 92:
LA LINEA RECTA 85 tos de AC, del te
Page 93 and 94:
LA LINEA RECTA 87 altura de B sobre
Page 95 and 96:
LA LINEA RECTA 89 Como los puntos P
Page 97 and 98:
LA LINEA RECTA en donde fe, la pend
Page 99 and 100:
LA LINEA RECTA 93 Si ahora hacemos
Page 101 and 102:
LA LINEA RECTA 95 8. Determinar el
Page 103 and 104:
LA LINEA RECTA 97 10. Sin hallar su
Page 105 and 106:
CAPITULO IV ECUACION DE LA CIRCUNFE
Page 107 and 108:
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA 101 P
Page 109 and 110:
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA 103 1
Page 111 and 112:
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA 105 E
Page 113 and 114:
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA 107 L
Page 115 and 116:
Page 117 and 118:
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA Consi
Page 119 and 120:
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA 113 E
Page 121 and 122:
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA 115 e
Page 123 and 124:
de d o n d e , ECUACION DE LA CIRCU
Page 125 and 126:
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA 5. Di
Page 127 and 128:
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA 121 o
Page 129 and 130:
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA 123 S
Page 131 and 132:
Page 133 and 134:
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA 127 L
Page 135 and 136:
Page 137 and 138:
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA 131 k
Page 139 and 140:
CAPITULO Y TRANSFORMACION DE COORDE
Page 141 and 142:
TRANSFORMACION DE COORDENADAS 135 n
Page 143 and 144:
TRANSFORMACION DE COORDENADAS 137 C
Page 145 and 146:
TRANSFORMACION DE COORDENADAS 139 1
Page 147 and 148:
TRANSFORMACION DE COORDENADAS 141 E
Page 149 and 150:
TRANSFORMACION DE COORDENADAS 143 5
Page 151 and 152:
TRANSFORMACION DE COORDENADAS 145 s
Page 153 and 154:
TRANSFORMACION DE COORDENADAS 147 E
Page 155 and 156:
CAPITULO VI LA PARABOLA 53. Introdu
Page 157 and 158:
LA PARABOLA 1 5 1 Recíprocamente ,
Page 159 and 160:
LA PARABOLA 153 Un cada caso, la lo
Page 161 and 162:
en donde las coordenadas del foco F
Page 163 and 164:
LA PARABOLA 157 de la forma (4 ) re
Page 165 and 166:
que pueden escribirse así, LA PARA
Page 167 and 168:
LA PARABOLA 161 57. Ecuación de la
Page 169 and 170:
LA PARABOLA 163 Resolviendo esta ec
Page 171 and 172:
LA PARABOLA 165 Vimos en el Artícu
Page 173 and 174:
LA PARABOLA 167 Solución. La funci
Page 175 and 176:
LA PARABOLA 169 2p La pendiente de
Page 177 and 178:
LA PARABOLA 171 E JE R C IC IO S. G
Page 179 and 180:
C A PITU LO V il LA ELIPSE 60. Defi
Page 181 and 182: Elevando al cuadrado n u ev am en t
Page 183 and 184: LA ELIPSE 177 Consideremos ahora el
Page 185 and 186: LA ELIPSE 179 2. Desarrollar una di
Page 187 and 188: D e la ecuación (1 ) puede deducir
Page 189 and 190: LA ELIPSE 183 R ecíprocam ente, co
Page 191 and 192: LA ELIPSE 185 mayor y menor son de
Page 193 and 194: LA ELIPSE 187 Una im portante propi
Page 195 and 196: LA ELIPSE 189 4. Demostrar el sigui
Page 197 and 198: CA PITULO V III L A H IP E R B O L
Page 199 and 200: LA HIPERBOLA 193 en donde a es una
Page 201 and 202: LA HIPERBOLA 195 Si el centro de la
Page 203 and 204: LA HIPERBOLA 197 t/* 3. Deducir la
Page 205 and 206: LA HIPERBOLA 199 Por el teorema 9 d
Page 207 and 208: LA HIPERBOLA 201 Por el teorema 2 d
Page 209 and 210: LA HIPERBOLA 203 10. Discutir y tra
Page 211 and 212: LA HIPERBOLA 205 (3, 1 + V 13) y (3
Page 213 and 214: LA HIPERBOLA 207 12. Demostrar el t
Page 215 and 216: LA HIPERBOLA 209 9. Hallar el ángu
Page 217 and 218: PRIMER RESUMEN RELATIVO A LAS CÓNI
Page 219 and 220: dadas en el teorema 2 del Artículo
Page 221 and 222: ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO 2
Page 231: ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO 2
Page 243 and 244: CAPITULO X COORDENADAS POLARES 79.
Page 245 and 246: COORDENADAS POLARES 239 A tal par l
Page 247 and 248: COORDENADAS POLARES Considerem os p
Page 249 and 250: COORDENADAS POLARES 243 EJERCICIOS.
Page 251 and 252: COORDENADAS POLARES 245 2. Sim etr
Page 253 and 254: COORDENADAS POLARES 247 3. Extensi
Page 255 and 256: COORDENADAS POLARES 249 de donde, p
Page 257 and 258: COORDENADAS POLARES 25 1 84. Fórm
Page 259 and 260: COORDENADAS POLARES 253 22. Demostr
Page 261 and 262: COORDENADAS POLARES 255 Los casos e
Page 263 and 264: COORDENADAS POLARES 257 las perpend
Page 265 and 266: COORDENADAS POLARES 259 centro C es
Page 267 and 268: COORDENADAS POLARES 261 del centro
Page 269 and 270: COORDENADAS POLARES 263 EJERCICIOS.
Page 271 and 272: CAPITULO X I ECUACIONES PARAMETRICA
Page 273 and 274: ECUACIONES PARAMETRICAS 267 Ejemplo
Page 275 and 276: ECUACIONES PARAMETRICAS 269 EJERCIC
Page 277 and 278: ECUACIONES PARAMETRICAS 271 instant
Page 279 and 280: ECUACIONES PARAMETRICAS 273 geom é
Page 281 and 282: ECUACIONES PARAMETRICAS 275 Una epi
Page 283 and 284:
ECUACIONES PARAMETRICAS 277 en dond
Page 285 and 286:
ECUACIONES PARAMETRICAS 279 8. Una
Page 287 and 288:
ECUACIONES PARAMETRICAS 281 Como m3
Page 289 and 290:
ECUACIONES PARAME TRICAS 283 EJERCI
Page 291 and 292:
CAPITULO X II CURVAS PLANAS DE GRAD
Page 293 and 294:
CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR 287
Page 295 and 296:
Page 297 and 298:
Page 299 and 300:
Page 301 and 302:
Page 303 and 304:
Page 305 and 306:
Page 307 and 308:
Page 309 and 310:
Page 311 and 312:
Page 313 and 314:
Page 315 and 316:
Page 317 and 318:
CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR Las
Page 319 and 320:
Page 321:
GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
Page 324 and 325:
318 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
Page 326 and 327:
Page 328 and 329:
Page 330 and 331:
Page 332 and 333:
Page 334 and 335:
Page 336 and 337:
Page 338 and 339:
Page 340 and 341:
Page 342 and 343:
Page 344 and 345:
Page 346 and 347:
Page 348 and 349:
Page 350 and 351:
Page 352 and 353:
Page 354 and 355:
Page 356 and 357:
Page 358 and 359:
Page 360 and 361:
Page 362 and 363:
Page 364 and 365:
Page 366 and 367:
Page 368 and 369:
3 62 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACI
Page 370 and 371:
Page 372 and 373:
Page 374 and 375:
Page 376 and 377:
Page 378 and 379:
Page 380 and 381:
Page 382 and 383:
Page 384 and 385:
Page 386 and 387:
Page 388 and 389:
Page 390 and 391:
Page 392 and 393:
Page 394 and 395:
Page 396 and 397:
Page 398 and 399:
Page 400 and 401:
Page 402 and 403:
Page 404 and 405:
Page 406 and 407:
Page 408 and 409:
Page 410 and 411:
Page 412 and 413:
Page 414 and 415:
Page 416 and 417:
Page 418 and 419:
Page 420 and 421:
Page 422 and 423:
Page 424 and 425:
Page 426 and 427:
Page 428 and 429:
Page 430 and 431:
Page 432 and 433:
Page 434 and 435:
Page 436 and 437:
Page 438 and 439:
Page 440 and 441:
Page 442 and 443:
Page 444 and 445:
Page 446 and 447:
C A PITU LO X V II CURVAS EN EL ESP
Page 448 and 449:
Page 450 and 451:
Page 452 and 453:
Page 454 and 455:
Page 456 and 457:
Page 458 and 459:
Page 460 and 461:
Page 462 and 463:
APENDICE I LISTA DE REFERENCIA DE F
Page 464 and 465:
458 GEOMETRIA ANALITICA 5. Determin
Page 466 and 467:
460 GEOMETRIA ANALITICA en las figu
Page 468 and 469:
462 GEOMETRIA ANALITICA 6. 8. Fórm
Page 470 and 471:
464 APENDICE II A. L ogaritmos com
Page 472 and 473:
466 APENDICE II B. F u n c io n es
Page 474 and 475:
468 APENDICE II C. V alores de
Page 476 and 477:
470 GEOMETRIA ANALITICA PLANA 16. (
Page 478 and 479:
472 GEOMETRIA ANALITICA PLANA Grupo
Page 480 and 481:
474 GEOMETRIA ANALITICA PLANA 14. -
Page 482 and 483:
Page 484 and 485:
Page 486 and 487:
480 GEOMETRIA ANALITICA PLANA 5. 7x
Page 488 and 489:
482 GEOMETRIA ANALITICA PLANA 25. r
Page 490 and 491:
Page 492 and 493:
Page 494:
show all

geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?