geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

260 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
13. Demostrar que la ecuación polar general de la circunferencia, ecuación
(1) del Artículo 86, puede obtenerse por medio de 1a fórmula de la distancia
entre dos puntos, dada en el teorema 3, Artículo 84.
14. Hallar la ecuación polar de la circunferencia de centro el punto
^6 , y radio igual a 4.
15. Hallar la ecuación polar de la circunferencia de centro el punto
^3, y que pasa por el punto ^2 ,
16. Demostrar los casos especiales de la ecuación (1) , Artículo 86, dados
en el teorema 5.
17. Si el centro de una circunferencia que pasa por el polo es el punto
(a, a) demuéstrese que su ecuación es r = 7a eos (6 — a) .
18. Del resultado del ejercicio 17, demuéstrese que la ecuación polar de
cualquier circunferencia que pasa por el polo puede escribirse en la forma
r = ki eos 0 -{- k2 sen 9,
en donde ki y son constantes.
19. Transformando la ecuación polar del ejercicio 18 a su forma rectangular,
determinar el significado de las constantes ki y kz. Demostrar, también,
que si a es el radio de la circunferencia se verifica que ki2 + &22 = 4a2.
En cada uno de los ejercicios 20-23, hallar el radio y las coordenadas polares
del centro de la circunferencia a partir de su ecuación polar dada. Comprobar
los resultados empleando coordenadas rectangulares.
20. r = 4 eos 9.
21. r = 2 eos 9 + 2 V 3 sen 9.
22. r2 — 2 V 2 r eos 9 — 2 \ / 2 r sen 9 — 5 = 0.
23. r2 + r eos í - V 3 r sen 6 — 3=0.
En cada uno de los ejercicios 24 y 25, transformar la ecuación rectangular
dada de la circunferencia a la forma polar general representada por la ecuación
(1) del Artículo 86, o uno de sus casos especíales. En cada caso, hallar el
radio y las coordenadas polares del centro.
24. x2 + y2 + 2x = 0. 25. x2 + y2 — x — y = 0.
26. Deducir la ecuación r = -------—------ del teorema 6 , Artículo 87.
1 + e eos 6
27. Deducir las ecuaciones r = -------—------ del teorema 6, Artículo 87.
1 ± e sen 9
28. Demostrar que las ecuaciones (2) y (3) del Artículo 87 pueden redu­
cirse a las formas r = -j- ese2 -j- y r = sec2 respectivamente, en el caso
de una parábola.
29. Demostrar que en cada una de las cónicas del teorema 6 , Artículo 87, la
longitud de un lado recto es igual a 2 ep.
En cada uno de los ejercicios 30-32, identificar la cónica cuya ecuación polar
se da. Para una parábola, hállense las coordenadas polares del vértice y la longitud
del lado recto. Para una cónica central, hállense las coordenadas polares