geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

246 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
3 . Extensión del lugar geométrico. P ara determ inar la extensión
de la gráfica de un lugar geom étrico dado en coordenadas p o la re s,
prim ero se despeja r en función de 6 , de modo que tenem os
r = J{6). (1)
Si r es finito para todos los valores de 6 , se tra ta de una curva cerrad
a . S i , en c a m b io , r se vuelve infinita para ciertos valores de 9 la
gráfica no puede ser una curva c e rra d a . P ara valores de 0 que
hacen a r com pleja no h ay curva ; tales valores de 6 constituyen
intervalos excluidos del lugar geom étrico. Si la gráfica es una curva
c e rra d a , es ú t i l , frecuentem ente, determ inar los valores m áxim o y
m ínim o de r.
4 . Cálculo de las coordenadas de algunos pum os. A signando un
valor particular a 0 , podem os obtener el valor o valores reales correspondientes
de r , cuando existen , de la ecuación (1 ) a n te rio r. P ara la
m ayoría de nuestros fin es, será suficiente tom ar valores de 8 a intervalos
de 3 0 °.
5. Construcción de la gráfica. Los puntos del lugar geom étrico
pueden trazarse directam ente a p a rtir de los valores de las coordenadas
obtenidas en el paso 4. U na curva continua que pase por los puntos
localizados será, por lo g en eral, la gráfica buscada. E s im portante
ver si la gráfica concuerda con los resultados obtenidos en los pasos
1 , 2 y 3 .
6. Transformación de la ecuación polar a su form a rectangular.
E sta transform ación puede efectuarse como se discutió en el A rtículo
81. La forma rectangular se puede usar para com probar la g ráfica.
Ejem plo 1. Trazar la curva cuya ecuación es
r =2(1 — eos 9) . (2)
Solución. 1, Intersecciones. De la ecuación (2) se deduce que para
9 = 0°, es r = 0, y para 9 = jt es r = 4. Ningunos valores nuevos de r se
obtienen para 9 = — n, ± 2 K, etc. Por tanto, ei polo está sobre la curva, y
la otra intersección con el eje polar está dada por el punto (4, jt) ,
Para 6 = -í- es r = 2; para $ — — y es r = 2. Ningunos valores nuevos
de r se obtienen para ( = ± - ü, =•= — Jt, etc. Portante, las intersecciones
2 n
con el eje a 90° son los puntos ^2,
í M 2'-í)
2. Simetría. Si se sustituye 0 por — 9, la ecuación (2) no se altera, ys
que eos ( — 9) — eos 9. Por tanto, la curva dada por la ecuación (2) es simétrica
con respecto al eje polar.
Aplicando las otras pruebas del teorema 2, el estudiante debe demostrar que
el lugar geométrico no es simétrico ni con respecto al eje a 90° ni con respecto
al polo.