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66 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
T e o re m a 5 . Una ecuación lineal en las variables x y y representa
una recta y recíprocamente.
NOTAS. 1. Este teorema muestra lo apropiado del término lineal para
designar ¡as expresiones algebraicas de primer grado.
2. La pendiente de una recta cualquiera, no paralela al eje Y, puede obtenerse
directamente a partir de su ecuación. Para ello bastará reducir la forma
dada (1) a la forma (3) ; el coeficiente de x es la pendiente. Más sencillamente,
todo lo que tenemos que hacer es dividir en ( 1) el coeficiente de x por el
coeficiente de y y después cambiar el signo.
29. Discusión de la forma general. Ahora haremos algunas observaciones
de gran im portancia, no sólo con respecto a la re c ta , sino
también a toda la Geometría analítica. Acabamos de ver que la ecuación
de una recta e s , necesariam ente, de la forma
Ax+ By + C = 0. (1)
Por ta n to , al buscar la ecuación de una recta particular, sabemos
a priori que es de la forma lineal (1 ); el problema que queda por
resolver es el de determinar los coeficientes A , B y C. El estudio de
los coeficientes e s , p u es, de gran im portancia. Este último enunciado
, sin embargo , no está restringido a la línea recta solamente ; a
medida que avancemos en el estudio de la Geometría analítica veremos
q u e , una vez que se haya establecido la ecuación general de un tipo
particular de curva, las propiedades y características distintivas de
esa curva pueden determinarse por una investigación de los coeficientes
de su ecuación.
Consideremos los tres coeficientes A , B y C en la forma general
(1). N otam os, en primer lugar, que todos son constantes reales
y arbitrarias, es decir, que pueden tomar cualquier valor re a l, siempre
que A y B no sean simultáneamente nulos. Puede parecer a
primera vista que estas tres constantes son independientes. Pero
puede demostrarse fácilmente q u e , en realidad, solamente hay dos
constantes independientes. E n efecto, uno , cuando m enos, de los
coeficientes A y B debe ser diferente de cero. Por ta n to , si A 0 ,
podemos dividir la ecuación (1) por A de manera que tome la forma
* + f 2/ + ^ = ° . (2)
en la que hay solamente dos constantes independientes que son las
razones arbitrarias B/A y C /A . Sabem os, por A lgebra, que para
calcular estas constantes se necesitan dos ecuaciones independientes
que las contengan, y que cada una de estas ecuaciones se obtiene a