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136 GEOMETRIA ANALITICA PLANA
Solución. Por el teorema 1, las ecuaciones de transformación son
* = *'+1, y = y' + 2.
Si sustituimos estos valores de x y y en la ecuación (1) , obtenemos
(x1 + l ) 3 - 3(x' + l ) 2 - (y' + 2 ) 2 + 3 0 ' + 1) + 4 (y' + 2) — 5 = 0.
Desarrollando y simplificando esta última ecuación
transformada buscada
obtenemos la ecuación
y s _ y /2 = o. (2)
Por ios métodos estudiados en el Artículo 19, podemos fácilmente (fig. 67)
trazar el lugar geométrico de la ecuación
(2) con respecto a los nuevos ejes
X' y Y 1. El lector reconocerá este lugar
geométrico como la parábola semi-
cúbica (Art. 17) . Debe observarse que
la figura es también la gráfica de la
ecuación (1) referida a los ejes originales
X y Y. Evidentemente que es mucho
más fácil trazar el lugar geométrico
usando la ecuación (2) q u e usando
la (1).
los ejes coordenados,
Ejemplo 2.
transformar la ecuación
En el ejemplo 1 , se especificó
el nuevo origen. Usualm ente, sin
em bargo, no se dan las coordenadas
del nuevo origen, sino que
deben ser determinadas. El procedimiento
a seguir en tal caso
está indicado en el siguiente
ejem plo.
Xa - 4y2 + 6* + 8y + 1 = 0
Por una traslación de
en otra ecuación que carezca de términos de primer grado. Trazar su lugar geométrico
y ambos sistemas de ejes coordenados.
Solución. En este caso particular podemos usar dos métodos diferentes,
siendo el primero el más general.
Primer método. Si sustituimos en la ecuación (3) los valores de x y y
dados por las ecuaciones de transformación en el teorema 1, obtenemos la ecuación
transformada
(*' + h)* - 4(y' + /¡)s + 6 ( x ' + h )+ 8(y'+ k ) + 1 = 0,
la cual, después de desarrollar y agrupar términos semejantes, toma la forma
xn _ 4 y /2 + (2 h + 6) x> - (8k - 8) y' + A2 - 4/t2 + 6h + 8k + 1 = 0. (4)
(3)