geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

EL PLANO 361
Por ta n to , por el teorema 9 del Artículo 119, la forma normal de la
ecuación del plano 8' es
x eos a + y eos (5+2 eos y — P' = 0 ,
la c u a l, en virtud de la relación (2), puede escribirse en la forma
x eos a + y eos |3 + z eos y — (p + d) = 0. (4)
S i, en cam bio, el punto P\ está localizado del lado opuesto del
origen, es decir, de tal manera que el plano 8' que pasa por él y es
paralelo a 6 esté de lado opuesto del origen con respecto a 8 , entonces
se verifica la relación (3). Pero en este caso los ángulos directores
de la normal a 8' son jt — ce, Jt — (3 y Jt — y , de manera que la
forma normal de la ecuación del plano b' es ahora
£ eos ( Jt — a ) + y eos ( jí — (3) + s eos ( Jt — y ) — P' = 0 ,
la cu al, en vista de la relación (3), puede escribirse en la forma
— x eos a — y eos (3 — z eos y + ( P + d) = 0.
Pero esta última ecuación es idéntica a la ecuación (4). Análogamente
, podemos demostrar que para los cuatro arreglos restantes la
ecuación ( 4>y representa al plano 8'.
Como el punto P\ está sobre 8; , sus coordenadas satisfacen a la
ecuación (4), y tenemos
de donde
xi eos a + 2/1 eos (3 + zi eos y — (p + d) = 0,
d = X\ eos a + 2 / 1 eos (3 + z\ eos y — p . (5)
Comparando este resultado con la ecuación (1), vemos que la
distancia dirigida d puede obtenerse, en magnitud y signo, sustituyendo
las coordenadas del punto P i en el primer miembro de la forma
normal de la ecuación de 8 .
Si el plano 8 no pasa por el origen, una investigación de los seis
arreglos posibles muestra que la distancia dirigida d es positiva o
negativa según que el punto Pi y el origen estén de lados opuestos
o del mismo lado del plano 8. Si el plano 8 pasa por el origen, el
signo de 8 debe de interpretarse de acuerdo con las convenciones establecidas
en el teorema 10 del Artículo 119.
Como la ecuación de un plano se da usualmente en la forma general
A x + By + Cz + D = 0 ,