geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

418 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO
Solución. La intersección de la superficie (6) y el plano z = k es la recta
kx + 2 ky — 1=0, z = k. (7)
Por tanto, la superficie (6) es una superficie reglada que tiene a la familia de
rectas (7) por generatrices.
Los números directores de las generatrices (7) son [2, — 1, 0]. Como estos
números directores son independientes del parámetro k, todas las generatrices
(7) son paralelas, y, por tanto, la superficie (6) es cilindrica. El estudiante
debe construir la superficie.
E JE R C IC IO S. Grupo 65
En cada uno de los ejercicios 1-6. hallar la ecuación de la superficie reglada
generada por la familia de rectas dada, y construir la superficie.
1. kx -f- 2 ky —4=0, x —2y — k = 0.
2. x — ky — 3z = 0, kx + 3 kz + y = 0.
3. x + ky — 2z — 2k — 0. kx — y + 2 kz = 2.
4. x — 3y + 3 kz = 3 k, kx + 3 ky — 3z = 3.
5. x + 2y — k = 0, £x — 2¿y — z = 0.
6. x + y — ¿y = 0, x + £z = 0.
7. Demostrar que la superficie del ejercicio 4 también es generada por la
familia de rectas kx — 3ky — 3z = 3, x + 3y + 3kz = 3k. Demostrar también
que ambas familias de rectas se cortan.
En cada uno de los ejercicios 8-13, demuéstrese que la ecuación dada representa
una superficie cilindrica demostrando que su lugar geométrico es una
superficie reglada cuyas generatrices son todas paralelas. Construyase la super
ficie.
S. x 2 + y2 - 2 x +2y = 2. 11. y2 - * - z - 1 = 0
9. z2 — 2x — 2y — 0. 12. x2 + y2 - z2 — 2xy = 1.
10. 2x2 + y — 2z = 0. 13. x2 + z2 — 2xz — y + z = 0.
En cada uno de los ejercicios 14-17, demuéstrese que la ecuación dada representa
una superficie cónica demostrando que su lugar geométrico es una superficie
reglada cuyas generatrices son todas concurrentes. Construyase la superficie.
14. 4x2 + 4y2 — z2 = 0. 16. y2 — 4 xz = 0.
15. x 2 — 4y2 + z2 = 0. 17. x2 + 2yz — 2y = 0.
En cada uno de los ejercicios 18-21, demuéstrese que la ecuación dada representa
una superficie reglada. Construyase dicha superficie.
18. x2 + y2 — z2 = 1. 20. xy — x — y — z + 1 = 0.
19. x2 - 4y2 + z2 = 4. 21. x2 - y2 - z = 0.
22. Hallar la ecuación de la superficie reglada engendrada por una recta que
se mueve de tal manera que se mantiene siempre paralela al plano YZ y corta a la