geometria analitica de lehmann - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

SISTEMAS DE COORDENADAS 11
6. Distancia entre dos puntos dados. Sean P i(xi, yi) y P i(x 2, y 2)
dos puntos dados cualesquiera (fig. 7 ). Vamos a determinar la distancia
d entre P i y P 2 , siendo d = 1 P i P 2 1. Por P i P 2 tracemos las
perpendiculares P i A y P 2 D a ambos ejes coordenados, como se indica
en la figura, y sea E su punto de intersección. Consideremos el
triángulo rectángulo P 1 E P 2. Por el teorema de Pitágoras, tenemos :
d 2 = P 1 P 2 = P 2 E ‘ + EPi (1 )
Las coordenadas de los pies de las perpendiculares a los ejes coordenados
son A (x 1 , 0 ) , .B(0, 2/1 ) , C (x 2 , 0 ) , D ( 0 , 2/2 ). Luego, por el
teorema 1 (Art. 3) tenemos
P 2 E = CA = Xi — x i , E P i = D B = yi — y 2.
Sustituyendo estos valores en (1 ), obtenemos
d2 = (x 1 — x> ) 2 + (yi — 2/2 )2 ,
de donde,
d = V (xi — x¿ )2 + (yi — ?/2 )2.
Este resultado se enuncia como sigue :
T eorema 2 . La distancia d entre dos puntos Pi(xi, yi) y P 2(x2, y>)
está dada por la fórmula
d — V (xx - x2)2 + (yi — y 2)2.
NOTAS. 1. En la demostración del teorema 2, no se hizo mención de los
cuadrantes en que se encuentran los puntos P¡ y P2. Según esto el resultado
del teorema 2 es completamente general e independiente de la situación de los