Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

PROBLEMAS RESUELTOS 83
SOLUCIÓN
SPSS da la moda más pequeña. Pero se puede inspeccionar la distribución de frecuencias y hallar las modas de la misma
manera que con SAS (ver el resultado dado antes).
RELACIÓN EMPÍRICA ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA
3.34 a) Emplear la fórmula empírica media − moda = 3(media − mediana) para hallar el salario modal de los 65
empleados de la empresa P&R.
b) Comparar el resultado con la moda obtenida en el problema 3.33.
SOLUCIÓN
a) De acuerdo con los problemas 3.23 y 3.30 se tiene media = $279.77 y mediana = $279.06. Por lo tanto,
Moda = media – 3(media – mediana) = $279.77 − 3($279.77 − $279.06) = $277.64
b) De acuerdo con el problema 3.33, el salario modal es $277.50, de manera que en este caso coincide con el resultado
empírico.
LA MEDIA GEOMÉTRICA
3.35 Encontrar: a) la media geométrica y b) la media aritmética de los números 3, 5, 6, 6, 7, 10 y 12. Se supone que
los números son exactos.
SOLUCIÓN
p
a) Media geométrica ¼ G ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
7 p
ð3Þð5Þð6Þð6Þð7Þð10Þð12Þ ¼ 7 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 453,600. Empleando logaritmos comunes, log G =
1
7 log 453 600 = 1 7(5.6567) = 0.8081 y G = 6.43 (a la centésima más cercana). Otra posibilidad es usar una calculadora.
Otro método
log G ¼ 1 7
ðlog 3 þ log 5 þ log 6 þ log 6 þ log 7 þ log 10 þ log 12Þ
¼ 1 7
ð0:4771 þ 0:6990 þ 0:7782 þ 0:7782 þ 0:8451 þ 1:0000 þ 1:0792Þ
¼ 0:8081
y
G ¼ 6:43
b) Media aritmética ¼ ^X ¼ 1 7
ð3 þ 5 þ 6 þ 6 þ 7 þ 10 þ 12Þ ¼7. Esto ilustra que la media geométrica de un conjunto
de números positivos, no todos iguales, es menor que su media aritmética.
3.36 Los números X 1 , X 2 , . . . , X K se presentan con frecuencias f 1 , f 2 , . . . , f K donde f 1 + f 2 + . . . , + f K = N es la frecuencia
total.
a) Encontrar la media geométrica G de estos números.
b) Deducir una expresión para log G.
c) ¿Cómo se pueden emplear los resultados para hallar la media geométrica de datos agrupados en una distribución
de frecuencias?
SOLUCIÓN
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a) G ¼ N X 1 X 1 X |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} 1 X 2 X 2 X X |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} 2 KX K X |fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl} K ¼ N X f 1
1
X f 2
2
X f K
K
f 1 veces f 2 veces f K veces
donde N = P f. A esta media suele llamársele media geométrica ponderada.