Estadística. Serie Schaum- 4ta edición - Murray R. Spiegel.pdf (1)

414 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
PROBLEMAS RESUELTOS
CLASIFICACIÓN EN UN SENTIDO O EXPERIMENTOS CON UN FACTOR
16.1 Probar que V = V W + V B ; es decir,
X
j;k
ðX jk
XÞ 2 ¼ X j;k
ðX jk
X j: Þ 2 þ X j;k
ð X j:
XÞ 2
SOLUCIÓN
Se tiene X jk
X ¼ðX jk
X j: ÞþðX j:
XÞ
Elevando al cuadrado y sumando sobre j y k, se obtiene
X
ðX jk
XÞ 2 ¼ X ðX jk
X j: Þ 2 þ X
j;k
j;k
j;k
ð X j:
XÞ 2 þ 2 X j;k
ðX jk
X j: Þð X j:
XÞ
Para probar el resultado deseado hay que mostrar que la última suma es cero. Para esto, se procede como sigue:
" #
X
ðX jk
X j: Þð X j:
XÞ ¼ Xa
ð X j:
XÞ Xb
ðX jk
X j: Þ
j;k
j¼1
¼ Xa
j¼1
ð X j:
k¼1
" ! #
X
XÞ
b
X jk b X j: ¼ 0
k¼1
ya que
X j: ¼ 1 b
X b
X jk
k¼1
16.2 Empleando la notación de la página 362, verificar que: a) T ¼ ab X, b) T j: ¼ b X j: y c) P j
T j: ¼ ab X.
SOLUCIÓN
a) T ¼ X !
1 X
X jk ¼ ab X
ab jk ¼ ab X
j;k
j;k
b) T j: ¼ X !
X jk ¼ b
1 X
X
b jk ¼ b X j:
k
k
c) Como T j: ¼ P k X jk, de acuerdo con el inciso a) se tiene
X
T j: ¼ X X
X jk ¼ T ¼ ab X
j
j
16.3 Verificar las fórmulas abreviadas (10), (11) y (12) de este capítulo.
SOLUCIÓN
k
Se tiene
V ¼ X j;k
ðX jk
XÞ 2 ¼ X j;k
ðX 2 jk
2 XX jk þ X 2 Þ
¼ X j;k
X 2 jk
2 X X j;k
X jk þ ab X 2
¼ X j;k
¼ X j;k
X 2 jk 2 Xðab XÞþab X 2
X 2 jk ab X 2
¼ X j;k
X 2 jk
T 2
ab